Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas

Sacar factor común en operaciones con números

Sacar factor común consiste en encontrar el elemento común a un conjunto de sumandos, una operación numérica a veces se simplifica sacando factor común para realizar la operación. Ten presente la propiedad distributiva y observa los ejemplos para ver como se usa el factor común.

Para poder sacar factor común hay que tener presente la propiedad distributiva del producto respecto de la suma que dice

Nota: En el caso numérico el factor común es el máximo común divisor de los sumandos

factor común 5

factor común 3

factor común

factor común 4

Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas

Un sistema lineal con dos ecuaciones y dos incógnitas está formado por dos ecuaciones lineales y dos indeterminadas, generalmente x e y. Resolverlo conisite en determinar los valores de x e y que hacen ciertas simultáneamente las dos igualdades.

Un sistema de este tipo puede no tener solución (sistema incompatible), tener una solución (sistema compatible determinado) o tener infinitas soluciones (sistema compatible indeterminado)

Veamos un ejemplo de cada uno de los casos

Sistema incompatible

Cualesquiera que sean los valores que tomen x e y, no pueden cumplir simultáneamente las dos ecuaciones pues si x+y=2 no puede ser que x+y=3.

Sistema compatible determinado, solución única.

Sistema compatible indeterminado, infinitas soluciones.

Este caso se produce cuando las ecuaciones son proporcionales, es decir, una ecuación es igual a la otra multiplicada por un número, en este ejemplo la segunda ecuación es igual a la primera por 2. La segunda ecuación no proporciona información para la resolución del sistema, entonces x+y=1, luego y=1-x. Cualquier par de números de la forma (x,1-x) son solución del sistema.

Potencia de un número natural

Si se desea multiplicar un número por sí mismo varias veces se puede indicar el producto factor a factor, si son pocos factores esto se puede hacer sin mucha dificultad. Por ejemplo 2•2•2, si se multiplica por si mismo 2 tres veces.

Esta forma de expresar este tipo de operaciones es tediosa y poco práctica. Una notación más simple y práctica para expresar el producto de un número por sí mismo varias veces es la notación en forma de potencia.

Una potencia consta de dos partes, por un lado está la base que es el número que se multiplica por sí mismo y por otro el exponente que nos indica el número de veces que se multiplica el número.

Números naturales

Los números naturales son aquellos que nos sirven para contar 1,2,3,4,5,....Los números naturales forman un conjunto que se nota con .

El conjunto de números naturales es ordenado, es decir, dados dos naturales cualesquiera uno de ellos es menor que otro. Los símbolos que se utilizar para establecer la relacion de orden entre dos números son:

Introducción

El concepto de divisibilidad surge ante la necesidad de repartir cantidades. En algunos casos este reparto es exacto y en otros no. Imaginemos que un padre deja en herencia sus 24 vacas a sus hijos. Dependiendo del número de hijos que tenga se podrá hacer un reparto equitativo o no sin que sobren o falten vacas, si tiene 3 hijos podrá dejar a cada uno 8 vacas, si tiene 4 podrá dejar a cada uno 6 vacas, pero si tiene 5 hijos no podrá dejar a cada uno de ellos igual número de vacas sin que sobre ninguna.

Concepto de divisibilidad

Se dice que un número a es divisible por otro b si existe un tercer número c tal quea= b•c y se nota b | a "b divide a a".

Así 24 es divisible por 3 ya que 24 = 3•8, también divisible por 4 pues 24 = 4•6. En cambio, no es divisible por 5 al no encontrarse ningún natural que al multiplicarse por 5 se obtenga 24.

Análogamente se puede decir que un número a es divisible por otro b si la división euclídea es exacta, es decir, si al realizar la división el resto es 0.

Consecuencias de la definición:

Si a, b y c son enteros

a. 1|a para cualquier a entero, es decir, 1 divide a cualquier número entero

b. Si a | b y b | a entonces a = ± b

c. Si a | b entonces a|bx para cualquier x entero.

d. Si a | b y a|c entonces a|(b+c)

e. Consecuencia de b es que a| (pa+qb) donde p,q son enteros

f. Triángulo

g. Un triángulo es una poligonal cerrada con tres lados y tres ángulos. La suma de sus ángulos es 180º.

Cada uno de los lados es menor que la suma de los otros dos, esto es

a < b + c

b < a + c

c < a + b

De la afirmación anterior se deduce que la diferencia de dos lados es menor que el tercero.

Clasificación de triángulos

Atendiendo a sus lados tenemos:

Triángulos equiláteros Triángulos isósceles Triángulo escaleno

Los tres lados son iguales Dos lados son iguales y el tercero es desigual Los tres lados son desiguales

h.

Atendiendo a sus ángulos:

Acutángulo Rectángulo Obtusángulo

Los tres ángulos son agudos Un ángulo es recto(90º) Un ángulo es obtuso (>90º)

i.

Área de un triángulo

Si conocemos un lado (base) y su distancia al vértice opuesto (altura), entonces el cálculo del área viene dado por la fórmula:

j.

k.

Si conocemos los tres lados del triángulo, el área se puede calcular usando la fórmula de Herón

l. Dado un triángulo de lados a, b y c

la semisuma de sus lados, entonces

Cuadrado

Un cuadrado es una poligonal cerrada cuatro lados y cuatro ángulos iguales.

Cualquier cuadrilátero (polígono con cuatro lados) cumple que sus cuatro ángulos interiores suman 360º, como los cuatro ángulos son iguales, cada uno de ellos será recto (90º).

Al ser sus ángulos rectos es un caso particular de rectángulo.

Como sus lados son iguales también es un caso particular de rombo.

Área del cuadrado

Paralelogramo

Poligonal cerrada de cuatro lados paralelos dos a dos.

Los ángulos son iguales dos a dos y la suma de los cuatro son 360º.

Casos particulares de paralelogramos son el cuadrado, el rectángulo y el rombo. La figura que aparede es un romboide que es el

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