Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas 2x2

Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas 2x2.

Existen dos procedimientos, algebraicamente y gráficamente.

Algebraicamente se conocen 3 métodos, igualación, sustitución y reducción. En el primero se igualan las ecuaciones, se despeja la misma incógnita de ambas ecuaciones, ya sea X o Y, se igualan nuevamente, se resuelve la ecuación que haya dado como resultado, y se obtiene una solución, para finalizar, se sustituye la solución en cualquiera de las incógnitas despejadas.

En la sustitución, como su nombre lo dice, se sustituye una incógnita en otra ecuación, esto se realiza despejando una incógnita en una de las ecuaciones, así se obtiene una expresión, esto se sustituye en la otra ecuación, quedando una ecuación de primer grado, la resolvemos y obtenemos el valor de una de las incógnitas, después la sustituimos nuevamente en la expresión despejada inicialmente, y el resultado sería el valor de ambas incógnitas. Por último la reducción consiste en, que con la suma o resta vamos a eliminar una de las incógnitas, primero se observa si en la ecuación existe un coeficiente de la misma incógnita del mismo valor con el signo contrario, si no existe, se multiplica una ecuación o ambas por un número determinado, para forzar esto, se suman ambas ecuaciones y así se elimina una de las incógnitas como restado quedara un ecuación de primer grado, se resuelve la ecuación y así se consigue el valor de una de las incógnitas, se sustituye la solución en cualquiera de las dos condiciones ecuaciones iniciales, a este método se le llama método de reducción sustitución, en caso de repetir el proceso eliminando otra incógnita este se llamara reducción doble.

Para resolverlo de manera gráfica, se representa cada ecuación de sistema en el plano cartesiano, es una ecuación de una línea recta, entonces se tendrían dos líneas rectas en el mismo plano, si se cortan las líneas rectas, serian secantes, o sea, que tienen una solución única, en donde la solución sería el punto de corte; si las rectas son paralelas, entonces no tiene solución, es un sistema incompatible, y por ultimo si las rectas son coincidentes entonces tiene infinitas soluciones, el sistema es compatible indeterminado.

Método suma/resta.

Se elige una variable que se quiera eliminar, para eliminar se busca o se tiene que forzar a su inverso, para entender mejor esto, se presenta el siguiente ejemplo:

2x + 5y=25 1° ecuación

3x – y=12 2° ecuación[pic 1]

3(2x + 5y=25)

6x + 15=75 3° ecuación

-2(3x - y=12)

-6x + 2y= -244° ecuación

Se tienen que tomar en cuenta los signos, en este caso la ecuación no cuenta con algún signo inverso, así que este se forza agregando un signo negativo a algún número.

[pic 2][pic 3][pic 4]

METODO DE IGUALACIÓN

Para el método de igualación, se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.[pic 5]

Después se igualan las ecuaciones obteniendo una ecuación de primer grado con una incógnita.

[pic 6]

Se resuelve la ecuación de primer grado.

El valor obtenido se sustituye en alguna de las ecuaciones.

[pic 7]

METODO DE SUSTITUCIÓN[pic 8]

Se despejan las variables, se recomienda que se despeje la que no tenga número, ya que así será más fácil.[pic 9]

En seguida, se sustituye la ecuación resultante en la otra ecuación, para tener una ecuación de primer grado con una incógnita, para después resolverla, el valor obtenido se sustituye en la ecuación obtenida del paso 1, para proceder a resolverla, cuando se tienen los resultados, en su consideración queda hacer la comprobación.

[pic 10]

METODO GRAFICO (rectas paralelas)

Este método significa encontrar la gráfica de ambas líneas de la ecuación y en donde se corten, esa sería la solución del sistema, pero, si son paralelas, primero se despejan las ecuaciones lineales:[pic 11]

Una vez que se despejaron las ecuaciones, se tabula. Para ubicar una línea recta solo se necesitan 2 puntos como mínimo, primero se realiza una tabla e inmediatamente la que le sigue.

[pic 12]        [pic 13]

Para finalizar, ya que las tablas estén hechas, se pasa a graficarlas en un plano cartesiano, de acuerdo con los resultados obtenidos, esos serán las coordenadas que nos ayudaran a ubicar nuestros puntos; Aunque, sin la necesidad de una gráfica podemos saber si son rectas paralelas, si los primeros números son iguales, después de despejarlos, esto significa que en efecto, son paralelas y no tienen solución.[pic 14]

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