Sistema de Ecuaciones 2x2

Unidad 3

Sistemas de ecuaciones lineales 2x2

En este documento estudiaremos sistemas de ecuaciones lineales 2 × 2, es decir, de dos ecuaciones y dos incógnitas. Estos sistemas tienen la siguiente forma:

a1x + a2y = b1

a3x + a4y = b2

El problema a resolver es encontrar el valor de las incógnitas “x”, “y” tales que las dos ecuaciones sean verdaderas.

En un sistema de ecuaciones lineales siempre tenemos solo uno de los tres casos siguientes:

1. El sistema tiene una única solución.

2. El sistema no tiene solución.

3. El sistema tiene más de una solución (infinidad de soluciones).

El sistema

a1x + a2y = b1

a3x + a4y = b2

Tiene una única solución si y solo si

(a1)(a4) – (a2)(a3) ≠ 0

Si (a1)(a4) – (a2)(a3) = 0 , y

1. a1, a2, b1,  son múltiplos de a3, a4, b2, respectivamente. Entonces el sistema tiene Una infinidad de soluciones.
2. a1, a2, son múltiplos de a3, a4, respectivamente, pero b1 no  es de b2. Entonces El sistema no tiene solución.

Todos los sistemas de ecuaciones al resolverlos, lo que se busca es encontrar un valor para cada variable, tal que sea verdadero en todo el sistema, en otras palabras, se dice que se busca el punto de intersección donde se unen las rectas del sistema de ecuaciones lineales. Para encontrar estos valores, se pueden emplear cualquiera de los métodos siguientes:

1. Sustitución
2. Eliminación
3. Igualación
4. Inversa
5. Gráfico

Dado un sistema de ecuaciones 2X2, es decir, de dos ecuaciones don dos incógnitas, veamos el procedimiento para resolverlo por cada uno de los métodos. Tomemos como ejemplo el siguiente sistema:

[pic 1]

[pic 2]

Método de Sustitución

1. Elegir una variable a despejar en una de las dos ecuaciones (la que se considere mas fácil)

[pic 3]

1. Sustituir el valor del paso 1 en la ecuación en la que no se despejo

[pic 4]

1. Simplificar la ecuación (juntar términos semejantes y sumarlos o restarlos)

[pic 5]

1. Despejar la variable para encontrar el valor de la primer incógnita

[pic 6]

1. Con el valor concentrado del paso 4, encontrar el valor de la variable faltante (hacerlo en el despeje del paso 1)

[pic 7]

Método de Eliminación

1. Elegir una variable a eliminar (la que se considere más fácil). Para elegir la variable a eliminar se busca que al sumarla o restarla con la misma variable de la otra ecuación, la suma o resta sea igual a cero.
2. Cuando la suma o resta no da cero de forma directa, se puede multiplicar una o las dos ecuaciones por un número real, buscando que se puedan eliminar una de las dos variables. (para encontrar el numero a multiplicar, se puede hacer de forma directa (a juicio del que resuelve), o haciéndolo de forma cruzada.

   para eliminar la “x” multiplicaremos la primer ecuación por -2[pic 8]

    para que al sumarlas se elimine la variable “x”[pic 9]

[pic 10]

             Al aplicar la suma de las dos ecuaciones[pic 11]

           Se elimina la x y queda solo la “y”[pic 12]

1. De la ecuación resultante del paso 2, se despeja la variable restante

[pic 13]

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