SISTEMA DE ECUACIONES

3.4 SISTEMA DE ECUACIONES:

Un sistema de ecuaciones es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas.

Por ejemplo:

Es un sistema de ecuaciones de dos ecuaciones con dos incógnitas. Su solución es un grupo de valores de las incógnitas que favorecen todas las ecuaciones del sistema.

En el caso anterior, la solución del sistema es:

x=2

y=3

SISTEMA ES HOMOGÉNEO

Si un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tiene todos los términos independientes nulos se dice que es homogéneo.

Sólo admite la solución trivial: x1 = x2 =... = xn = 0.

La condición necesaria y suficiente para que un sistema homogéneo tenga soluciones distintas de la trivial es que el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el nº de incógnitas, o dicho de otra forma, que el determinante de la matriz de los coeficientes sea nulo.

r < n

Observemos que esto se debe a que: De este modo estamos en el caso del teorema de Rouche en el que r(A)=r(A') y su valor es menor al número de incógnias, siendo así el sistema compatible indeterminado.

SISTEMA NO OMOGENICO

Bueno si sabes cuando es homogeneo creo que puedes deducir cuando no lo es. Si mal no recuerdo un sistema de ecuaciones es homogeneo si el termino independiente de cada una de las ecuaciones que lo constituyen son nulos; por lo tanto no sera homogeneo cuando para al menos una ecuacion, el termino independiente es no nulo. Por ejempo:

3.x + 2.y = 0

x + 12.y = 0 ,es homogeneo, pero el que sigue no lo es

4.x + 5.y = 1

2.x - 7.y = 0

porque la primer ecuacion tiene termino independiente igual a -1, es decir no nulo.

SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO

Un sistema compatible determinado tiene una sola solución.

x = 2, y = 3

Gráficamente la solución es el punto de corte de las dos rectas.

SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO

Un sistema compatible indeterminado tiene infinitas soluciones.

Gráficamente obtenemos dos rectas coincidentes. Cualquier punto de la recta es solución al sistema.

SISTEMA INCOMPATIBLE

Un sistema de ecuaciones es incompatible cuando no tiene soluciones, o sea que las ecuaciones del sistema no tienen soluciones comunes.

Los sistemas de ecuaciones incompatibles se llaman también imposibles.

Ejemplo, el sistema:

Es incompatible o imposible porque las ecuaciones no tienen soluciones comunes.

CRITERIO PARA DETERMINAR LA EXISTENCIA DE SOLUCIÓN

INTERPRETACIÓN GEOMETRICA DE UN SISTEMA DE ECUACIONES.

3.5 MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES:

Los métodos de igualación, sustitución y reducción consisten en encontrar y resolver, para cada una de las incognitas, una ecuación con esa incognita y con ninguna otra ( convirtiendo así un problema dificil en uno mas facil, ¿no?).

A estas ecuaciones, con solo una incognita, se llega a traves de una serie de pasos en los que las ecuaciones intermedias que se van obteniendo tienen menos incognitas que las ecuaciones previas.

Así, es posible que en uno de estos pasos de eliminación de incognitas se utilize un método ( el de reducción, por ejemplo ) y que, en el siguiente paso, se utilize otro método ( el de igualación, por ejemplo ).

Cada vez que se encuentra la solución para una incognita, se sustituye esta incognita por su solución para obtener asi ecuaciones con menos incognitas.

Los métodos de igualación, sustitución, reducción y Gauss se pueden utilizar para resolver sistemas de ecuaciones compatibles determinados eindeterminados.

Estos mismos métodos tambien pueden utilizarse para comprobar si un sistema de ecuaciones es compatible o no. La utilizacion de cualquiera de ellos conduciria, en el caso de que el sistema fuese incompatible, a una igualdad que es falsa, por ejemplo:

El método de la matriz inversa y la regla de Cramer solo se pueden utilizar en el caso de que el sistema de ecuaciones lineales sea compatible determinado

MÉTODO DE REDUCCIÓN

Consiste en multiplicar ecuaciones por numeros y sumarlas para reducir el número de incognitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incognita.

Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de la ecuación por dicho número que no existe esto lo hizo molotov.

Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro derecho ( izquierdo ) es la suma de los miembros derechos ( izquierdos ) de las ecuaciones que se suman por algo que sabe venom.

Ejemplo

Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones

15x - 9y = 1

-15x + 20y = 5

Al sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación

La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la desaparezca al sumar ambas ecuaciones.

Sutituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida, se obtiene

que es otra ecuación con una sola incognita y cuya solución es .

Texto

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