Sistema de ecuaciones

Sistema de ecuaciones:

Llamamos sistema de ecuaciones a un conjunto cualquiera de ecuaciones. Por ejemplo, las ecuaciones:

forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

El conjunto de ecuaciones:

forman un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Se llama grado del sistema de ecuaciones al mayor exponente al que se encuentre elevada alguna incógnita del sistema.

Por ejemplo,

es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de segundo grado, porque el mayor exponente es 2 (la x e y al cuadrado). Este sistema con ecuaciones de segundo grado se llaman también sistema de ecuaciones cuadráticas.

El sistema de ecuaciones es de primer grado con dos incógnitas (porque todos los valores están elevados a 1, que no se escribe).

Cuando el sistema de ecuaciones es de primer grado y además no aparecen términos con las incógnitas multiplicadas entre sí (tipo x • y) se dice que es un sistema de ecuaciones lineales.

Resolviendo sistemas

Para resolver un sistema de ecuaciones existen los siguientes métodos:

Método de sustitución

Lo que debemos hacer:

1.- Despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones.

2.- Sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación.

3.- Resolver la ecuación resultante.

4.- Calcular la otra incógnita en la ecuación despejada.

Ejemplo:

Resolver

Se despeja x en la segunda ecuación:

x = 8 – 2y

Se sustituyen en la primera ecuación:

3(8 – 2y) – 4y = – 6

Operando:

24 − 6y − 4y = − 6

24 – 10y = – 6

− 10y = − 6 − 24

− 10y = − 30

Se resuelve:

y = 3

Se sustituye este valor en la segunda:

x + 2(3) = 8

x + 6 = 8

x = 8 – 6 = 2

Solución del sistema:

x = 2, y = 3

1.- A las 6 am una barre nieves que avanza con una rapidez constante, empieza a despejar una carretera que conduce a las afueras de la ciudad, a las 8 am un automóvil toma esa carretera, a una velocidad de 30 millas por hora y alcanza a la maquina 30 min después.

Encuentra la rapidez de la maquina:

B: Barre nieves A: Automóvil

VA=30millas/h dB=dA

V=d/t  d=v(t) dA=VA(t) 2.5 VB = 15 millas

dB= VB(2.5) dA= 30mi/h (1/2) VB=15 millas/ 2.5h

dB= 2.5 VB dA=(30 mi/h)/2h VB= 6 millas/h

dA= 15 millas

2.- Un muchacho puede remar con una velocidad constante de 5 millas en aguas tranquilas. Rema contra corriente durante 15 min y luego corriente abajo y regresa al punto de partida en 12 min.

a) Encuentra la rapidez de la corriente

b) Encuentra la distancia total que recorrió.

D= v * t (v-v2) t1= (V+V2)t2 d1+d2

5 millas/h t1v-t1vc=t2v+t2vc

T1v-t2v= t2vc+t1vc =1.11125 millas+1.11 mil

=2.2225 millas

t1 = 15min

Vc=(V(t-t2))/(t2+t1)=(5mil/h(0.25hrs-0.2hrs))/(0.2hrs+0.25hrs)

t2 = 12min

Vc=(5millas/h(0.05hrs))/(0.45 hrs)=0.55 millas/h

d1=(5mil/h-0.55mil/h)0.25hrs=1.1125 mil

d2=(5mil/h-0.55mil/h)0.2hrs=1.11 mil

3.- Una pareja desea cenar en un restaurante pero no quiere gastar más de 70 pesos. Si se agrega un impuesto de ventas del 6% a la cuenta y piensa dar una propina de 15% después de agregar el impuesto.

¿Cuál es la cantidad máxima que puede gastar (consumir?

Impuesto 6%

Consumo= X

Impuesto= 6% X

Propina= 15% (X + Impuesto)

= 15 % (X + 6 %)

X + 6%X + 15 % (X+6%X)= 70

X + 0.06 + 0.15 (X + 0.06X) = 70

X + 0.06 + 0.15 + 0.009X= 70

X(1 + 0.06 + 0.15 + 0.009) = 70

1.219 = 70

x=70/1.219=57.42

Consumo: $57.42

Impuesto: $3.44

Propina: $9.19

1.- Debe construirse un barril cilíndrico, recto circular, cerrado, para petróleo de 4 pies de altura de modo que su área superficial total debe de ser A= 10 π pies2 .

Encuentra el diámetro del barril.

At= b*h

Atc= b*h+2 (πr2)

Circunferencia del cilindro

At=(2 πr)(4) + 2 πr2)

10 πp= 8 πr + 2 πr2

(2 πr2 + 8 πr – 10 π) 1/ π

2r2 + 8r - 10 = 0

a= 2 b= 8 c= -10

b2 - 4ac = 82 – 4 (2) (-10)

= 64 + 80

= 144

3.1

1.- Grafica los puntos A(5,-2) B(-5,-5) C(5,2) D(-5,2) E(3,0) F(0,3)

2.- Localiza los puntos A(-3,1) B(3,1) C(-2,-3) D(0,3) E(2,-3) en el plano coordenado. Dibuja los segmentos de la recta AB, BC, CD, DE, EA.

Ejercicios 5 y 6.- Halla las coordenadas de los puntos A – F.

A (3, 3)

B (0, 3)

A (0, 4)

B (2, 2)

Ejercicios 9 al 14.- Encuentra la distancia de (A,B) entre A y B, (b) Halla el punto medio del segmento AB.

9.- A (4,-3) B (6, 2)

dAB= √((x_(2^(- ) ) x_1 ) )^2+() y_(2^(- ) ) y_1 )^2 Punto medio: A(4, -3) B(6, 2)

= √((6-4)^2+(2+3)^2 ) M =((x_1+x_2)/2,(y_1+y_2)/2)

= √((2)^2+(5)^2 ) M = ((4+6)/2,(-3+2)/2)=10/2,(-1)/2

= √(4+25) M= (5,-0.5)

= √29

D = 5.3

10.- A (-2,-5) B (4,6)

dAB= √((x_(2^(- ) ) x_1 ) )^2+() y_(2^(- ) ) y_1 )^2 Punto medio: A(4, -3) B(6, 2)

= √((4+2)^2+(6+5)^2 ) M =((x_1+x_2)/2,(y_1+y_2)/2)

= √((6)^2+(11)^2 ) M = ((-2+4)/2,(-5+6)/2)=2/2,1/2

= √(36+121) M= (1,0.5)

= √157

D = 12.52

11.- A (-5,0) B (-2,-2)

dAB= √((x_(2^(- ) ) x_1 ) )^2+() y_(2^(- ) ) y_1 )^2 Punto medio: A(4, -3) B(6, 2)

= √((-2+5)^2+(-2)^2 ) M =((x_1+x_2)/2,(y_1+y_2)/2)

= √((3)^2+(-2)^2 ) M = ((-5-2)/2,(-2)/2)=(-7)/2,(-2)/2

= √(9+4) M=

...