Sistema De Ecuaciones

La forma genérica de un sistema de ecuaciones algebraicas y incógnitas es la siguiente:

(1)

donde son funciones de las incógnitas. La solución, perteneciente al espacio euclídeo , será tal que el resultado de evaluar cualquier expresión con los valores de dicha solución, verifique la ecuación.

Representación gráfica[editar · editar fuente]

Los sistemas de 2 o 3 incógnitas reales admiten representaciones gráficas cuando las funciones en (1) son continuas a tramos. En cada ecuación se representa como una curva o una superficie curva. La existencia de soluciones en ese caso puede deducirse a partir de la existencia de intersecciones comunes a dichas curvas o superficies curvas.

Clasificación de los sistemas[editar · editar fuente]

Un sistema de ecuaciones sobre puede clasificarse de acuerdo con el número de soluciones o cardinal del conjunto de soluciones , de acuerdo con este criterio un sistema puede ser:

Sistema compatible cuando admite alguna solución que a su vez pueden dividirse en:

Sistemas compatibles determinados cuando admiten un conjunto finito de soluciones, o un conjunto infinito de soluciones aisladas sin puntos de acumulación, .

Sistemas compatibles indeterminados cuando existe un número infinito de soluciones que forman una variedad continua, .

Sistema incompatible cuando no admite ninguna solución, .

Sistema lineal general[editar · editar fuente]

Artículo principal: Sistema de ecuaciones lineales.

Se llama sistema lineal si las ecuaciones que conforman el sistema son funciones afines. A diferencia del caso general, la solución de los sistemas de ecuaciones lineales son fáciles de encontrar cuando los coeficientes de las ecuaciones son números reales o complejos. También existen medios generales de resolución cuando los coeficientes pertenecen a un anillo, aunque la búsqueda de las soluciones en ese caso puede ser un poco más complicada.

Una característica importante de los sistemas lineales de ecuaciones es que admiten la llamada forma matricial. Esta forma permite representar el sistema usando tres matrices, de la siguiente forma:

(2)

La primera es la matriz de coeficientes, donde el término representa al coeficiente que acompaña a la j-ésima incógnita de la ecuación i-ésima. La segunda es la matriz de incógnitas, donde cada término se corresponde con una de las incógnitas. La tercera matriz es la de términos independientes, donde el cada representa al término independiente de la ecuación i-ésima.

Esta representación matricial facilita el uso de algunos métodos de resolución, como el método de Gauss, en el que, partiendo de la matriz aumentada (matriz de coeficientes a la que se le ha acoplado la matriz de términos independientes), y aplicando transformaciones lineales sobre las ecuaciones, se pretende llegar a una matriz de este tipo:

Una vez que la matriz se ha triangulado, el valor de cada término se corresponderá con el de la incógnita . Si queda alguna fila del tipo , con , el sistema no tendrá solución.

Ejemplos:

Un sistema lineal incompatible es , ya que usando el método reducción y sumando miembro a miembro se obtiene la contradicción 0 = 39.

Un ejemplo de sistema lineal compatible indeterminado es ya que claramente la segunda ecuación es linealmente dependiente de la primera, habiéndo sido multiplicados todos los términos por 2.

Un ejemplo de sistema lineal compatible determinado es cuya solución única es y .

Existencia de soluciones[editar · editar fuente]

El teorema de la función inversa proporciona condiciones suficientes de existencia de solución, de un sistema como (1) con . Si sucede que la función vectorial:

es diferenciable con continuidad, es decir, es de clase y su jacobiano no se anula en ningún punto entonces existe una única solución del sistema (1). En ese caso existirá una función inversa, y se podrá escribir la solución buscada simplemente como:

Sin embargo, la condición de diferenciabilidad anterior aún siendo condición suficiente, no es una condición necesaria, por lo que existen sistemas de ecuaciones en que las funciones no son diferenciables y sin embargo, existen soluciones. Más aún, en casos en que existe más de una solución, si la función es diferenciable entonces el jacobiano se anula en algún punto, pero eso no impide que existan varias soluciones.

En casos de un menor número de ecuaciones que de incógnitas, cuando , entonces el sistema es compatible indeterminado o carece de soluciones. En esos casos, el teorema de la función implícita proporciona condiciones suficientes, aunque no necesarias, para la existencia de soluciones de un modo similar a como el teorema

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