Sistema De Ecuaciones

INTRODUCCIÓN

Un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de una o más ecuaciones en las que aparecen una o más funciones incógnita, pero todas ellas dependiendo de una sola variable independiente.

Este tema está dedicado a la discusión de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas. Dichos sistemas aparecen en problemas que tienen relación con varias variables dependientes que son función de la misma variable independiente.

El sistema de ecuaciones diferenciales {█(〖x‘‘〗_1-2〖x‘〗_1-x_2=e^3t@〖x‘〗_2- 6x_1=0)}

posee como funciones incógnitas La variable independiente es t y una solución de r_1 (t)y r_2 (t)

este sistema en el intervalo está dada por el par de funciones (-∞,+ ∞) ,como puede comprobarse mediante una simple sustitución.

La resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales se simplifica mucho si las ecuaciones son de coeficientes constantes. En el caso de una ecuación de primer orden la búsqueda de un factor integrante nos lleva en la mayoría de los casos a una ecuación en derivadas parciales. Si la ecuación es de orden superior, a no ser que sea una ecuación de Euler o similar, tendremos que proponer una solución que no viene dada, en general, por funciones elementales. En estos casos los métodos preferidos (sin contar el cálculo numérico) son los que emplean series de potencias o series de Fourier. En el caso de los sistemas, si la matriz del sistema es de coeficientes constantes podemos resolver el sistema usando el método de los valores propios ya que en ese caso la matriz resultante de la reducción de la ecuación a un sistema de primer orden es constante y puede encontrarse fácilmente su solución calculando la exponencial de la matriz del sistema.

4.1.1.- SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

Este tema está dedicado a la discusión de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas. Dichos sistemas aparecen en problemas que tienen relación con varias variables dependientes que son función de la misma variable independiente.

Por ejemplo, las leyes de Newton.

donde m es la masa de la partícula, (x1, x2, x3) son sus coordenadas espaciales y F1, F2, F3 las componentes de la fuerza actuante sobre la partícula en dicha posición, que pueden ser función de la posición, de la velocidad y del tiempo.

Hay una importante conexión entre los sistemas de ecuaciones y las ecuaciones de orden arbitrario. De hecho una ecuación de orden n

(1)

puede ser reducida a un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden con una forma bastante particular. Para verlo se va a efectuar los siguientes cambios de variables, llamando

...

Entonces se puede reescribir (1) como

...

que es un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden.

En el caso más general un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden tiene tiene la forma:

...

Antes de proseguir será necesario establecer en qué caso hay solución del sistema y si ésta es única. Para ello, se enuncia el siguiente teorema:

Teorema

Sean continuas en una región R del espacio (n+1) dimensional las funciones

y tal que dicha región contiene el punto . Entonces existe un intervalo en el que hay solución única de la forma:

...

del sistema de ecuaciones diferenciales que satisface la condición

...

Nota.- Es importante saber que este teorema da las condiciones suficientes para que haya solución, sin embargo, no establece las necesarias. Es decir, las condiciones son muy restrictivas y puede encontrarse un sistema que sin cumplirlas totalmente tenga solución única.

Los sistemas se clasifican como las ecuaciones ordinarias. Pueden ser lineales y no lineales. Si las funciones tienen la forma

el sistema se dice lineal. Si no, es no lineal. Si es cero en todas y cada una de las ecuaciones, el sistema se dice homogéneo; en caso contrario, no homogéneo.

Para los sistemas lineales el teorema de existencia y unicidad de solución es más simple y con una conclusión más amplia. Es un teorema de existencia de solución global, como en el caso de las ecuaciones diferenciales ordinarias.

Si las funciones y son continuas en el intervalo abierto

 < t < 

que contiene al punto , entonces existe una única solución al sistema de la forma:

...

que satisface las condiciones de valor inicial

...

Obsérvese que la existencia y unicidad de la solución del sistema está asegurada en todo el intervalo en que las funciones

...