INECUACIONES LINEALES Sistemas de Inecuaciones Lineales con dos incógnitas

INECUACIONES LINEALES
Sistemas de Inecuaciones Lineales con dos incógnitas         

a)                        b)                        

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Resolver los sistemas de inecuaciones siguientes, dibujando la solución

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a)          b)

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Programación Lineal (PL)

La Programación Lineal (PL) es un procedimiento matemático para determinar la asignación óptima de recursos escasos.

Un modelo de programación lineal busca maximizar o minimizar una función lineal, sujeta a un conjunto de restricciones lineales.

Un modelo de programación lineal esta compuesto de:

1. Variables y parámetros de decisión. Las variables de decisión son las incógnitas (o decisiones) que deben determinarse resolviendo el modelo. Los parámetros son los valores conocidos que relacionan las variables de decisión con las restricciones y función objetivo.

2. Restricciones. Para tener en cuenta las limitaciones tecnológicas, económicas y otras del sistema, el modelo debe incluir restricciones (implícitas o explícitas) que restrinjan las variables de decisión a un rango de valores factibles.

3. Función objetivo. La función objetivo define la medida de efectividad del sistema como una función matemática de las variables de decisión.

La solución óptima será aquella que produzca el mejor valor de la función objetivo, sujeta a las restricciones.

DEFINICIÓN. Una función f(X1, X2, X3, ...... Xn) es una función lineal de  X1, X2,  ... Xn si y sólo si para algún conjunto de constantes C1, C2, C3, ...... Cn, f(X1, X2,  ...... Xn) = C1 X1, C2 X2, C3 X3, ...... Cn Xn

Ejemplo, f( X1, X2) = 2 X1 + X2 es una función lineal de X1 y X2, pero

 f( X1, X2) =  X12 X2 no es una función lineal de X1 y X2.

DEFINICIÓN. para cualquier función lineal f(X1, X2, ...... Xn) y cualquier número b, las desigualdades f(X1, X2, ...... Xn) ≤ b y f(X1, X2, ...... Xn) ≥ b son desigualdades lineales.

Así, 2 X1 + 3 X2   ≤  3 y  2 X1 + 3 X2   ≥  3 son desigualdades lineales, pero

X12 X2 ≥ no es una desigualdad lineal.

Cuando se formula un problema de toma de decisiones como un programa lineal, se deben verificar las siguientes condiciones:

1. La función objetivo debe ser lineal. Vale decir que se debe verificar que todas las variables estén elevadas a la primera potencia y que sean sumadas o restadas (no divididas ni multiplicadas);
2. El objetivo debe ser ya sea la maximización o minimización de una función lineal. El objetivo debe representar la meta del decisor; y
3. Las restricciones también deben ser lineales. . Asimismo, la restricción debe adoptar alguna de las siguientes formas ( ≤, ≥, ó  =, es decir que las restricciones de PL siempre están cerradas).

¿El siguiente problema es un problema de PL?

Max X2
sujeta a:
X1 + X2 ≤ 0
X12 - 4 ≤ 0

Aunque la segunda restricción parece "como si" fuera una restricción no lineal, esta restricción puede escribirse también de la siguiente forma:
                                   X1 ≥ -2, y X2 ≤ 2.
En consecuencia, el problema es de hecho un problema de PL.

Forma estandar del modelo

La formulación en PL para un problema general de asignación de recursos a actividades, consiste en elegir valores de x1,x2,....,xn para:

Optimizar (maximizar o minimizar) Z = c1x1 + c2x2 +....+ cnxn,

sujeta a las restricciones:

  (s.a.)

a11x1  +  a12x2 +....+ a1nxn < b1

a21x1  + a22x2 +....+ a2nxn < b2

                                      .

am1x1 + am2x2 +....+ amnxn < bm

X1 ≥  0,           X2  ≥0,     ...,      Xn  ≥0.

Definición de Región factible, para un P.L. es el conjunto de todos los puntos que satisfacen las restricciones y las restricciones de signo del P.L.

Definición de solución optima, para un problema de maximización, una solución óptima para un P.L., es un punto de la región factible con el mayor valor de la función objetivo. Similarmente para uno de minimización será el valor mínimo de la F.O.

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