DISEÑO Y APLICACIÓN CONTROLADORES A SISTEMAS NO LINEALES

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   TOPICOS AVANZADOS DE CONTROL

DISEÑO Y APLICACIÓN DE CONTROLADORES PARA SISTEMAS NO LINEALES

Alvaro Espitia cod.1801678 - Angelica Orjuela cod.1801708

Ingeniería Mecatrónica. UMNG  

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INTRODUCCIÓN:

Debido a que las técnicas de control trabajadas hasta el momento son lineales, solo se aplicaban a sistemas de comportamiento lineal, como se venía trabajando en prácticas anteriores, pero lo que sucede en el mundo real, es que todos o en la gran mayoría de los sistemas y procesos a los que se desea realizar un sistema de control, presentan un comportamiento no lineal en lazo abierto, lo que causa que una vez diseñados estos controladores, la señal de control no tiene efecto en el sistema.

Una forma de enfrentar este problema es mediante el diseño de controladores no lineales para el respectivo sistema, y la otra forma consiste en el diseño de controladores para sistemas lineales como se ha trabajado en prácticas anteriores, pero como el sistema para el que se diseñaría el controlador no es lineal, se emplean métodos de linealización con la finalidad de llegar a una expresión que represente de forma lineal el comportamiento de la planta no lineal.  

La linealización del sistema puede ser de dos formas: Linealización exacta y linealización aproximada. Para el caso de éste proyecto, se realizara la linealización aproximada. Es importante mencionar que cuando se diseña un controlador, lo que se espera es que el sistema se comporte según una referencia indicada, así, al linealizar el sistema, esta linealización se hace con respecto a ese punto de operación debido a que según sea el punto de operación, el modelo matemático lineal cambia y en consecuencia el controlador también cambia, teniendo esto en cuenta se puede diseñar el controlador para un sistema linealizado con respecto a un punto de operación fijo, o para u sistema linealizado de forma dinámica, es decir, que los parámetros del sistema y del controlador se recalculan en función de la variable de salida y/o referencia (entrada).

1) ESQUEMA DEL PROCEDIMIENTO

Para el desarrollo de esta práctica se plantea como planta un sistema de barra y bola el cual presenta un comportamiento no lineal.  

El diseño de la figura 1, muestra de forma general la estructura del sistema para el cual se empleó un servomotor como actuador cuya función es la manipulación del ángulo de la barra con respecto a la horizontal para así de esta manera manipular la posición de la bolita, también se construyó un sensor lineal el cual tiene un funcionamiento similar a un potenciómetro tomando como cursor la posición de la bolita y teniendo como salida un voltaje cuya magnitud está dentro del rango de polarización del sensor (bobina).  

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Figura 1. Sistema barra y bola

Debido a que el sistema no es lineal (como se ha venido mencionando), no es posible proponer un controlador para el modelo matemático del sistema no lineal, por lo que es necesario obtener el modelo de la planta linealizado para así de esta manera poder diseñar un controlador cuyas características sean óptimas para mantener la posición de la bolita en el punto de operación deseado.

Con la finalidad de comparar diferentes técnicas de control se diseñará para el sistema mostrado en la figura 1, un control por servosistema y un control PID.

2) SERVOSISTEMA  

Como se venía diciendo en el anterior numeral, antes de diseñar el control por servosistema, se obtuvo el modelo matemático del sistema lineal, para así de esta manera poder tener una aproximación lineal del funcionamiento de la planta.

Tomando la nomenclatura de la figura 1, y considerando como modelo matemático, las energías presentes en el sistema, teniendo la energía cinética y la energía potencial del sistema de barra y bola como se muestra a continuación:

1. 2 1 JB  r2  1 (JB  mB r2)2  1  JB 2 K  mB r [pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]
2. 2         R         2        2         

L P         [pic 7] mb  g sin()  mB  g sin()

2

Donde r y , son la velocidad lineal de la bola y la velocidad angular de la barra respectivamente, de esta manera la ecuación de Lagrange estaría dada por

LKP .

Debido a que el sistema presenta dos grados de libertad, uno que corresponde a la barra y el otro a la bola, se deben obtener ds ecuaciones, las cuales se obtienen mediante el lagrangiano que está definido como:

d  L  L  X [pic 8]

        dt  dx        dx

Así, aplicando la ecuación anterior, las ecuaciones que representan la dinámica del sistema son:

        d  L  L                 JB  r mB r 2 mBg sin()  0[pic 9]

        0  mB         

        dt  dr        dr                R2          

d  L   L  JB  mB r2  Jb   [pic 10]L mb  mB r g cos()  dt  d        d         2        [pic 11]

Posteriormente a la obtención de las ecuaciones del sistema, se tomaron como variables de estado con condiciones iniciales, las siguientes:

x1 x1  0 x2  r x2 

x3 x3  0

x4  rx4  0

Donde  representa el punto de operación sobre el cual se realizará la linealización, y debido a que la idea es que la bolita una vez alcanzado el punto de operación este en reposo (quieta), se requiere que tanto la velocidad de la bolita como la de la barra sean cero (r 0), y que el ángulo  0, ya que de no ser así la bolita se empezaría a mover.

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