Sistemas No Lineales

Dinámica de sistemas

Linealización de sistemas

Héctor Manuel Vega

Los sistemas no lineales se pueden aproximar a uno lineal en pequeños intervalos de operación. En la figura se puede observar esta característica, donde se aproxima la función a una línea, pero se observa que mientras mas lejos del punto de aproximación se calcule la función, el error es de mayor magnitud, por consiguiente, se debe definir que la aproximación sólo es válida para regiones de operación en o cerca a este punto.

y

y

P

x

a

x

En la figura, el punto P de coordenadas (a, f(a)) pertenece a la función real y a la línea tangente a la curva en ese punto. Si se incrementa el valor de x en x, se produce igualmente un cambio en la respuesta f(a+x), en la gráfica el incremento es muy grande y se observa que los valores de la función y la recta están alejados. Para valores pequeños de x, se puede observar que: (1) El incremento en la respuesta se obtiene a partir de la recta tangente, si se hace traslación de ejes al punto P, la recta pasa por el origen del nuevo sistema de coordenadas, por consiguiente la ecuación de esta recta es y = mx, la pendiente se obtiene con la derivada de la función real evaluada en el punto (x

= a)

(2) Reemplazando los términos para obtener el valor de la función real en términos de la aproximación lineal se tiene: (3)

Dinámica de sistemas

Héctor Manuel Vega

Al aplicar este método para linealizar sistemas cerca a un punto de operación, se debe tener presente que siempre se genera un error que crece mientras mas grande sea el incremento x. Ejemplo. Obtener la aproximación lineal de la función luego calcular la función para un incremento de 0.2 Los términos necesarios para la ecuación (3) son: cerca al punto x = 2,

El valor real de la función es:

El error para este incremento es: 0.01136, que corresponde al 0.1322%, lo que es aceptable para un caso práctico. La relación del procedimiento anterior respecto a los sistemas dinámicos es que las variables x e y, son funciones perimétricas que dependen del tiempo, por consiguiente los valores calculados corresponderían a los puntos de estabilización para entradas cercanas a 2. Para un sistema no lineal con múltiples variables cuyo modelo se representa por ecuaciones de forma luego se obtienen las matrices de la ecuación de estado para el modelo lineal mediante las ecuaciones.

Estas se evalúan en para los valores de todas las variables que

corresponden al punto de equilibrio (pe). Una vez se tiene el modelo lineal, solamente se puede usar para evaluar los incrementos en la salida medidos desde el punto de operación. La simulación se realiza según la ecuación (3) a partir de la cual se obtiene el diagrama de la figura

x

Sistema no lineal

y +

+

y +y

x

Sistema lineal

y

Ejemplo. Un sistema se modela mediante las ecuaciones no lineales:

Dinámica de sistemas

Héctor Manuel Vega

Calcular el punto de equilibrio para una entrada u = 1.5 y realizar la simulación para un incremento en la entrada de u = 0.1 si las condiciones iniciales son cero. El punto de equilibrio se presenta cuando ya no hay cambios en las variables de salida. De f1 se despeja el la variable x1 y se reemplaza en la ecuación de f2 obteniendo: Reemplazando el valor de u y desarrollando se obtiene: Esta ecuación se puede resolver por cualquier método numérico, aquí es fácil aplicar el de Newton Rapson con el que se obtienen: x2 = 0.40439 Para reemplazar en la expresión

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