LOS SISTEMAS SIMULTÁNEOS DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES

CAPÍTULO     3

SISTEMAS SIMULTÁNEOS DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES

3.1- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES        

Definición. Una ecuación lineal es aquella donde todas las variables o incógnitas están elevadas a la primera potencia, no aparece ningún término con productos o cocientes entre incógnitas y no contiene términos con funciones trascendentes.

Tipos de solución. Un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas puede tener tres tipos de solución:

• Solución única (sistema consistente).
• Solución múltiple (infinidad de sol., sistema dependiente).
• No solución (sistema inconsistente).

Métodos de solución. Se clasifican en algebraicos y numéricos:

        Suma y resta[pic 1]

Algebraicos         Igualación

                             Substitución[pic 2]

        Regla de Cramer [pic 3]

        Directos         Gauss

        Gauss-Jordan

Numéricos        Matriz inversa[pic 4]

        Jacobi        

        Iterativos         Gauss-Seidel

• Solamente  para sistemas en donde el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones y que tengan solución única.

Los métodos algebraicos son recomendables para sistemas pequeños (2 ó 3 ecuaciones) mientras que los métodos son más adecuados para sistemas con mayor número de ecuaciones.

En los métodos DIRECTOS se llega a la solución (generalmente exacta) en un número finito de pasos, mientras que en los ITERATIVOS se utiliza en la técnica de aproximaciones sucesivas.

Para la mayoría de los sistemas, los métodos iterativos requieren de un mayor número de cálculos que los empleados en los métodos directos, para llegar a un grado de precisión preestablecido. Sin embargo, cuando los elementos nulos de la matriz del sistema se acumulan a lo largo de la diagonal principal, siendo los elementos de la misma los mayores en valor absoluto, los métodos iterativos pueden compararse favorablemente con los métodos directos. Además, debido a que los métodos iterativos con un gran número de ecuaciones con las características antes mencionadas.

Puesto que los métodos directos estudian ampliamente en otras materias, analizaremos solamente el método iterativo de Gauss-Seidel, dado que el de Jacobi es muy parecido de convergencia más lenta.

3.1.1.- MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

En este método utiliza la misma técnica del método de Aproximaciones Sucesivas, analizando en el capítulo 2, con la diferencia de que en este caso habrá n ecuaciones y n incógnitas, en vez de una ecuación y una incógnita.

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:

a11 x1   +    a12 x2   +   a13 x3   +   a14 x4  + …...+  a1n xn   = b1                                         (1)

a21 x1   +    a22 x2   +   a23 x3   +   a24 x4  + …...+  a2n xn   = b2                                         (2)

a31 x1   +    a32 x2   +   a33 x3   +   a34 x4  + …... + a1n xn   = b3                                         (3)

a41 x1   +    a42 x2   +   a43 x3   +   a44 x4  + …... + a1n xn   = b4                                         (4)

       - - -        - - -         - - -      - - -                 - - -      - -

       - - -        - - -         - - -      - - -                 - - -      - -

an1 x1   +    an2 x2   +   an3 x3   +   an4 x4  + …... + ann xn   = bn                                         (n)

Sea la solución inicial:

x1 (0)     , x2 (0)   , x3 (0)   , x4(0)         , …... ,  xn (0)     

Si los elementos de la diagonal no son nulos, se puede despejar a x1 de la ecuación (1), a x2 de la ecuación (2)…., y así sucesivamente:

x1 = b1 – (a12 x2 (k) + a13 x3 (k) + a14 x4 (k) + ….. + a1n xn (k)

                                      a11

x2 = b2 – (a21 x2 (k) + a23 x3 (k) + a24 x4 (k) + ….. + a2n xn (k)

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