Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas

Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas.

Consideramos ahora el problema de encontrar la solución general de una ecuación lineal no homogénea

de orden n

yn) +a1(x)yn−1) +•••+an−1(x)y0 +an(x)y = f(x)

y llamaremos ecuación homogénea asociada a la ecuación no homogénea dada la que resulta de

sustituir f(x) por cero; esto es,

yn) +a1(x)yn−1) +•••+an−1(x)y0 +an(x)y = 0.

Se verá que para resolver una ecuación no homogénea se procederá a calcular la solución general de

su ecuación homogénea.

Teorema 4.1 Supongamos que las funciones a1(x), a2(x),... ,an(x), f(x) son continuas en un intervalo

abierto I. Si zp(x) es una solución particular de la ecuación no homogénea e yg(x) es la solución general

de la ecuación homogénea asociada, entonces todas las soluciones y(x) de la ecuación no homogénea se

pueden expresar en la forma

y(x) = yg(x) +zp(x)

y esta expresión constituye la solución general de la ecuación no homogénea.

MÉTODOS PARA OBTENER UNA SOLUCIÓN PARTICULAR de la ecuación lineal

no homogénea con coeficientes constantes.

-Método de variación de constantes

El método consiste en obtener una solución particular de la ecuación a partir de la solución general

de la ecuación homogénea asociada, dada por

yg (x) = C1y1(x) +C2y2(x)

Para ello las constantes C1, C2 de dicha solución se consideran funciones de x y se trata de determinar

funciones C1 (x), C2 (x) para las que

zp (x) = C1 (x)y1(x) +C2 (x)y2(x)

ea solución de la ecuación completa dada.

La única condición que en definitiva deben cumplir las funciones C1 (x) y C2 (x) es que la función

dada en (6) y sus derivadas cumplan la ecuación diferencial (5).

En efecto, de (6) se tiene que

z0

p (x) = C0

1 (x)y1(x) +C1 (x)y0

1(x) +C0

2 (x)y2(x) +C2 (x)y0

2(x)

y para simplificar los cálculos y evitar derivadas de segundo orden de las funciones incógnitas C1 (x) y

C2 (x), supondremos que

C0

1 (x)y1(x) +C0

2 (x)y2(x)=0 (7)

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