Ecuaciones Diferenciales Homogeneas

ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS

A partir de la siguiente ecuación diferencial:

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (formula básica)

Se dice que la ecuación es homogénea si M y N tienen el mismo grado.

F(x,y) = xy + y² (Es homogénea)

Hay dos maneras de obtener el grado en una ecuación:

Inspección , (tᶰ x , tᶰ y) = tᶰ f(x,y)

Suma de los exponentes por cada termino.

Ejemplo de inspección:

F(x,y) = x²y + 4 x³ + 3 x²

= t² x * ty + 4t³ + 3 (tx)(t²y)

= t³ x²y + 4t³ x³ + 3 t³ xy² (el término “t” tiene el mismo grado)

= t³ (x²y + 4 x³ + 3 xy²)

Por lo tanto la ecuación es de grado 3.

Ejemplo de suma de exponentes:

Este es un metodo muy sencillo pero hay q tener en cuenta las propiedades de los exponentes.

Sea:

(y² + yx)dx + x²dy = 0

Sacamos el valor de M y N

M (y² + yx) = segundo grado

N ( x²) = segundo grado

Por lo tanto es homogénea

Lo anterior solo ha sido para determinar el grado de una ecuacion, asi que ahora tocara ver el cambio de variable en una ecuacion diferencial.

El metodo homogeneo requiere para el cambio o sustitucion de variables:

Y = ux dy = udx + xdu

X = uy dx = udy + ydu

U = x + y y = u – x dy = du - dx

EJEMPLO DE ECUACION DIFERENCIAL HOMOGENEA

Sea:

(x – y) dx + xdy = 0

Lo primero que que se debe hacer es determinar el grado para saber si es o no es homogenea:

M (x – y) = primer grado

N (x) = primer grado

Por lo tanto es homogenea

( Nota : para referirnos al termino M tenemos que tener en cuenta que debe ir con su dx, asi como el termino N con su dy).

SOLUCION:

(x – ux)dx + x (udx + xdu) = 0

Aquí se sustituye el valor de y = ux como se puede observar.

Luego factorizamos

X (1 – u) dx + x (udx + xdu) = 0

Se divide entre “x” porque es un factor en ambos componentes.

(1 – u) dx + udx + xdu = 0

Resolvemos el producto del parentesis.

dx – udx + udx +xdu = 0

Se eliminan los temrinos iguales.

dx + xdu = 0

ya se tiene la ecuacion diferencial y se puede resolver por el metodo de variables separadas:

∫▒dx/x+ ∫▒〖du=0〗

Integramos:

Ln x + u = c

Sustituir el valor de u:

Ln x + y/x=c

(Nota: el valor de u lo obtenemos de despejar u en la formula y = ux (utilizada al principio)).

CONCLUSION

En resumen se puede decir que los pasos a seguir son:

Verificar si

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