Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones Diferenciales

Se le llama ecuación diferencial a una ecuación que vincula un conjunto de variables independientes, un conjunto de funciones en dichas variables independientes y un conjunto de derivadas (ordinarias o parciales) de estas funciones.

• Una ecuación diferencial es una ecuación en la cual intervienen derivadas ordinarias y la ecuación se denomina Ecuación Diferencial Ordinaria

• Si aparecen dos o más variables independientes, las derivadas son derivadas parciales y la ecuación se llama Ecuación en Derivadas Parciales.

La palabra ordinara es para hacer referencia a las ecuaciones donde solo aparecen derivadas ordinarias y no derivadas parciales.

Ejemplo

El orden de una ecuación diferencial es el mayor orden de la derivada que aparece en la misma.

Ejemplo

xy’’ + 7xy = sen x, es una ecuación diferencial de 2° orden.

yIV + x2 +1 – xy = 0, es una ecuación diferencial de 4° orden.

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación diferencial ordinara donde intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable independiente. Estas ecuaciones, junto con su condición inicial, se pueden encontrar expresadas en forma explícita:

La ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes es de la siguiente forma:

Para resolver las ecuaciones diferenciales de orden superior se utiliza una ecuación auxiliar que se saca a la hora de usar Y= mx, dependiendo de la derivada que se este realizaon va a ser el exponente de m.

Ejemplo

Y(x) = mx

Y’(x) = m mx

Y’’(x) = m2 mx

… Asi sucesivamente hasta encontrar la derivada requerida.

m2 + m +1 = 0  ecuación auxiliar.

a m2 + bm +c = 0

A la hora de obtener la ecuación auxiliar, es necesario encontrar los valores de la constante m.

(m+1)(m+1)= 0

m1 = -1

m2 = -1

Al obtener los resultados hay tres diferentes casos, los cuales son:

Caso #1

Cuando b2 – 4ac > 0 da como solución números reales y la respuesta estaría dada de la siguiente forma

Y(x) = C1 m1x + C2 m2x

Caso #2

Cuando b2 – 4ac = 0 tenemos el mismo resultado dos veces entonces la respuesta estaría dada de la siguiente forma.

Y(x) = C1 m1x + C2 x m2x

Caso # 3

Cuando b2 – 4ac < 0 nos da soluciones complejas y la respuesta estaría dada de la siguiente forma.

Y(x) = αx (C1 cos βx + C2 sen βx)

α = es la parte real de m

β= es la parte imaginaria de m

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