Ecuaciones Diferenciales

INDICE

1. Definición

2. Tipos de ecuaciones

2.1 Ecuaciones diferenciales ordinarias

2.2 Ecuaciones en derivadas parciales

3. Orden de la ecuación

3.1 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

3.2 Ecuaciones diferenciales de segundo orden

3.3 Ecuaciones diferenciales de orden superior

4. Grado de la ecuación

5. Ecuación diferencial lineal

6. Usos

7. Ecuaciones semilineales y cuasilineales

8. Solución de una ecuación diferencial

8.1 Tipos de soluciones

8.1.1 Solución general

8.1.2 Solución particular

8.1.3 Solución singular

9. Bibliografía

1. Definición:

Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que relaciona de manera no trivial a una función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con respecto a una o más variables independientes. Si la función desconocida depende de una sola variable la ecuación diferencial se llama ordinaria, por el contrario, si depende de más de una variable, se llama parcial.

2. Tipos de ecuaciones:

Existen dos tipos de ecuaciones diferenciales, las ecuaciones diferenciales ordinarias y las ecuaciones en derivadas parciales.

2.1 Ecuaciones diferenciales ordinarias:

En matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente abreviada "EDO") es la que contiene una función desconocida de una variable independiente y relaciona con sus derivadas:

una sola variable independiente (a diferencia de las ecuaciones diferenciales parciales que involucran derivadas parciales de varias variables), y una o más de sus derivadas respecto de tal variable.

Recursos de la física, la ingeniería, la economía, la meteorología y en aplicaciones como las de modelado en ciencias, se las estudia en diversas áreas (como geometría, mecánica y astronomía) y perspectivas. Matemáticamente es de crucial interés el conjunto de funciones que satisfacen la ecuación y establecen sus soluciones.

Sólo las ecuaciones diferenciales más sencillas admiten soluciones dadas por fórmulas explícitas (como las lineales asociadas a una teoría desarrollada prácticamente por completo).

No obstante, pueden determinarse algunas propiedades de las soluciones de una ecuación diferencial sin requerirse su formulación exacta. Clave para resolver la mayoría de las ecuaciones diferenciales no-lineales de sumo interés en numerosos casos. Casos carentes de una fórmula auto-contenida para su solución que se suple con la aproximada numéricamente con el auxilio crucial de las computadoras.

La matemática pura centra el foco formal en la solución, su existencia y si es o no única. La aplicada controla la validez de los métodos para la solución numéricamente aproximada y el rigor de las justificaciones con que se los sustenta.

La teoría de los sistemas dinámicos prioriza el análisis cualitativo de sistemas descriptos por ecuaciones diferenciales mientras se han venido sumando numerosos métodos numéricos para determinar soluciones con un grado dado de precisión.

2.2 Ecuaciones en derivadas parciales:

En matemáticas una ecuación en derivadas parciales (a veces abreviado como EDP) es una relación entre una función matemática u de varias variables independientes x,y,z,t,... y las derivadas parciales de u respecto de esas variables. Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulación matemática de procesos de la física y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo.

Problemas típicos son la propagación del sonido o del calor, la electrostática, la electrodinámica, la dinámica de fluidos, la elasticidad, la mecánica cuántica y muchos otros. Se las conoce también como ecuaciones diferenciales parciales.

Participaron en su estudio los D'alambert, Fourier, matemáticos de la época napoleónica.

3. Orden de la ecuación:

El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se denomina orden de la ecuación. Se define poa la mayor derivada obtenida de la función primitiva.

Ej.

Ecuación diferencial de orden tres o de tercer orden.

3.1 ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden:

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación diferencial ordinaria donde intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable independiente. Estas ecuaciones, junto con su condición inicial, se pueden encontrar expresadas en forma explícita:

o en su forma implícita:

Ejemplos de ecuaciones diferenciales

Si mediante operaciones algebraicas es posible expresar la ecuación diferencial en la siguiente forma:

se dirá que es una ecuación diferencial de variables separables. De este modo, en cada miembro de la ecuación se tendrá una única variable. Para resolver este tipo de ecuaciones basta con integrar en cada miembro:

Ecuaciones homogéneas

Una ecuación de la forma

dy/dx = f(x,y) es homogénea siempre que la función f no dependa de x y y aisladamente, sino únicamente de sus razones y/x o bien x/y. Así pues las ecuaciones homogéneas adoptan la forma

dy/dx = F(y/x) .

Se dice que una ecuación es homogénea si la función f(x, y) es fraccionaria y además el grado de los polinomios de numerador y denominador son los mismos. Por ejemplo:

Sería homogénea ya que todos los términos de ambos polinomios son de grado.

Así se procede dividiendo tanto numerador como denominador por o en función de qué cambio haga más simple su resolución. Llegados a este caso según la elección se puede optar por uno de los dos cambios análogos, que son:

o bien

Así se simplifica enormemente y suele quedar separable. Para finalizar solo resta deshacer el cambio, sustituyendo las u(x,y) por su valor como función que se ha establecido.

El caso anterior puede generalizarse a una ecuación diferencial de primer orden de la forma:

introduciendo la variable u = y/x; la solución de la anterior ecuación viene dada por:

Ecuaciones lineales de primer orden

La ecuación diferencial lineal de primer orden tiene la forma:

...