Ecuaciones Diferenciales

Desde los primeros pasos en el c´alculo diferencial, de todos es conocido que, dada una

funci´on y = f(x), su derivada dy

dx = f′(x) es tambi´en una funci´on que se puede encontrar

mediante ciertas reglas. Por ejemplo, si y = e−x3

, entonces dy

dx = −3x2e−x3

o, lo que es

lo mismo, dy

dx = −3x2y. El problema al que nos enfrentamos ahora no es el de calcular

derivadas de funciones; m´as bien, el problema consiste en: si se da una ecuaci´on como

dy

dx = −3x2y, hallar de alguna manera una funci´on y = f(x) que satisfaga dicha ecuaci´on.

En una palabra, se desea resolver ecuaciones diferenciales.

La forma de ecuaci´on diferencial m´as sencilla que puede pensarse es dy

dx = f(x).

Resolverla consiste en encontrar una funci´on cuya derivada sea f(x), es decir, encontrar

las primitivas (integrales indefinidas) de f(x). Por tanto, podemos decir que los m´etodos

de resoluci´on de ecuaciones diferenciales constituyen una generalizaci´on del c´alculo de

primitivas.

Definici´on 1. Llamamos ecuaci´on diferencial (E. D.) a una ecuaci´on que relaciona

una funci´on (o variable dependiente), su variable o variables (variables independientes), y

sus derivadas. Si la ecuaci´on contiene derivadas respecto a una sola variable independiente

entonces se dice que es una ecuaci´on diferencial ordinaria (E. D. O.); y si contiene las

derivadas parciales respecto a dos o m´as variables independientes se llama ecuaci´on en

derivadas parciales (E. D. P.).

Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias son

dy

dx − 4y = 2, (x + 2y) dx − 3y dy = 0 (1)

y

d2y

dx2 − 4



dy

dx

3

+ 3y = 0; (2)

mientras que

x

@u

@x

+ y

@u

@y

= u (3)

y

@3u

@x3 =

@2u

@t2 − 4

@u

@t

(4)

son ecuaciones en derivadas parciales.

1

2 M´etodos cl´asicos de resoluci´on de E. D. O.

Otro tipo de ecuaciones que pueden estudiarse son las ecuaciones diferenciales de

retraso (o retardo), como es el caso de

u′(t) = 7 − 2u(t − 3).

Est´an caracterizadas por la presencia de un desplazamiento t − t0 en el argumento de la

funci´on inc´ognita u(t). En general, son m´as dif´ıciles de manejar que las E. D. sin retraso.

No nos ocuparemos aqu´ı de ellas.

Definici´on 2. Se llama orden de la ecuaci´on diferencial al orden de la derivada o derivada

parcial m´as alta que aparece en la ecuaci´on.

As´ı, por ejemplo, las ecuaciones (1) y (3) son de orden 1, (2) es de orden 2 y (4) de

orden 3.

En lo que sigue nos preocuparemos s´olo de ecuaciones diferenciales ordinarias y, como

no habr´a lugar a confusi´on, las denominaremos simplemente E. D. Por lo general, salvo

que el contexto nos indique otra notaci´on (o ´esta provenga de los cambios de variable que

efectuemos), utilizaremos x para denotar la variable independiente e y para la variable

dependiente.

Definici´on 3. Decimos que una ecuaci´on diferencial (de orden n) est´a expresada en forma

impl´ıcita cuando tiene la forma

F(x, y, y′, . . . , y(n)) = 0

siendo F una funci´on F:

⊂ Rn+2 −→ R con

un subconjunto (generalmente abierto)

de Rn+2. Y

...