Ecuaciones Diferenciales

2.1.- ECUACIONES DIFERENCIALES Y DE DIFERENCIAS

2.1.1.- ECUACIONES DIFERENCIALES

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:

• Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.

• Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.

Una ecuación diferencial es una ecuación que incluye expresiones o términos que involucran a una función matemática incógnita y sus derivadas. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:

es una ecuación diferencial ordinaria, donde representa una función no especificada de la variable independiente , es decir, , es la derivada de con respecto a .

• La expresión

Es una ecuación en derivadas parciales.

A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace).

Orden de la ecuación

El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se denomina orden de la ecuación.

Grado de la ecuación

Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación esté en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.

Ecuación diferencial lineal

Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma ,

Es decir:

• Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.

• En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.

• Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.

Ejemplos:

• es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones , con k un número real cualquiera.

• es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones , con a y b reales.

• es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones , con a y b reales.

Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en economía.

2.1.2.- ECUACIONES DIFERENCIALES CON DIFERENCIAS

2.1.3.- DEFINICION DE ECUACION DE DIFERENCIAS

Es una ecuación que muestra la relación entra valores consecutivos de una secuencia y la diferencia entre ellos. Usualmente se escribe en una ecuación recurrente para que la salida del sistema se pueda calcular de las entradas de la señal y sus valores anteriores.

EJEMPLO y[n]+7y [n−1]+2y[n−2]=x[n]−4x[n−1] ecuación 1

La ecuación de diferencia nos ayuda a describir la salida del sistema descrito por la fórmula para cualquier n. La propiedad más importante para esta ecuación es la habilidad de poder encontrar la transformada, H (z), del sistema. Las siguientes subsecciones veremos la forma genera de la ecuación diferencial en la conversión a la transformada-z directamente de su ecuación de diferencia.

La forma general de este tipo de ecuación es la siguiente:

∑k=0Naky [n−k]=∑k=0Mbkx [n−k] ecuación 2

También se puede expresar como una salida recurrente, la cual se ve así:

Y[n]=−∑k=1Naky [n−k]+∑k=0Mbkx [n−k] ecuación 3

De esta ecuación, note que y[n−k] representa las salidas y x[n−k] representa las entradas. El valor de N representa el orden de la ecuación de diferencia que corresponde a la memoria del sistema representado. Ya que la ecuación depende de los valores pasados de la salida, para calcular una solución numérica, algunos valores pasados, conocidos como condiciones iniciales, se deben saber.

Usando la formula, Ecuación 2, podemos generalizar la función de transferencia, H(z), para cualquier función de diferencia. Los siguientes pasos se deben de tomar para convertir cualquier función de diferencia en su función de diferencia. Primero se tiene que tomar la transformada de Fourier de todos los términos en la Ecuación 2. Después usando la propiedad de linealidad para sacar la transformada fuera de la sumatoria y usamos la propiedad de desplazamiento en el tiempo de la transformada z para cambiar los términos desplazados en el tiempo a exponenciales. Después de hacer esto, llegamos a la siguiente ecuación: a0=1.

Y(z)=−∑k=1NakY(z)z−k+∑k=0MbkX(z)z−k

H(z)==Y(z)X(z)∑Mk=0bkz−k1+∑Nk=1akz−k

Ya que tenemos la transformada- z, podemos tomar el siguiente paso y definir la respuesta a la frecuencia del sistema, o filtro, que esta siendo representado por la ecuación de diferencia. La conversión es simplemente tomar la formula de la transformada-z, H(z), y remplazarla en cualquier instante de z con eiw.

H(w)==H(z)|z,z=eiw∑Mk=0bke−(iwk)∑Nk=0ake−(iwk)

Después de que usted entienda la derivación de esta formula vea el modulo titulado el filtro y la transformada-z para que vea las ideas de la transformada-z y la ecuación de diferencia, y las graficas de polos y ceros se usan al diseñar un filtro.

2.1.4.- ECUACION DE DIFERENCIAS FINITAS

Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f(x + b) − f(x +a). Si una diferencia finita se divide por b − a se obtiene una expresión similar al cociente diferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar de infinitesimales. La aproximación de las derivadas por diferencias finitas desempeña un papel central en los métodos de diferencias finitas del análisis numérico para la resolución de ecuaciones diferenciales.

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