Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones Diferenciales.

Tutor/Lic. Matemáticas.

San Juan Nepomuceno

Bolívar 2014

Las ecuaciones diferenciales las encontramos por todas partes, en fenómenos naturales, físicos, químicos y electrónicos, a mayoría de estos fenómenos necesitan de un modelo matemático para comprender su comportamiento, expresado en una ecuación diferencial. La informática no queda exenta de tratar de modelar proceso computacional como la transmisión de datos, todo ello con el fin de mejorar el hardware actual. Es por eso que el estudio y análisis de este tema es importante para nuestra carrera y cada uno de nosotros como integrante de grupo hemos analizado de común acuerdo los distintos temas que nos tocan como futuros ingenieros de sistemas.

Definición de una ecuación diferencial

Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas de una función desconocida de una o más variables.

En cálculo se aprende que la derivadady/dx (se lee derivada de y con respecto a x) de la función y=∅(x) es otra función de x, por ejemplo:

y〖=e〗^(x^2 )

A derivada de esta función es

dy/dx = 2xe^(x^2 )

En ecuaciones diferenciales al reemplazar e^(x^2 ) por y se obtiene la ecuación diferencial dy/dx=2xy

La integración y derivación están estrechamente ligadas, la integración de una función se puede calcular una vez que se conoce la anti derivada, las ecuaciones matemáticas toman un sentido de matemáticas más puras, ya que ahora dada la función

dy/dx=2xy

Hay que encontrar su derivada, cuestionando si hay algún método para obtener la función desconocida y=∅(x).

Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden linealidad.

Clasificación según su tipo:

Si la función desconocida depende solo de una variable, es decir, que las derivadas sean derivadas ordinarias, la ecuación se llama ecuación diferencial ordinaria.

Una ecuación diferencia ordinaria es una relación entre una variable dependiente, una variable independiente y una o más derivadas de la variable dependiente con respecto a la variable independiente.

Por ejemplo:

dy/dx=2x+y o y^¡ = 2x+y -(d^2 y)/(dx^2 )-dy/dx+6y=0

Normalmente escribimos y = f(x) y llamamos a x la variable independiente, y a y la variable dependientes de x. para sintetizar la denotación de y en x en una función y = f(x), simplemente podemos escribir y(x) y sus derivadas sucesivas por y^!(x), y^!! (x). . .y^n (x), o también únicamente y^¡ ,y^!!,. . .y^n.

En otro caso, si la función desconocida depende de más de una variable, es decir que las derivadas sean derivadas parciales, la ecuación se llama ecuación diferencia parcial. Por ejemplo:

(d^2 v)/(dx^2 ) +2 (d^2 v)/(dy^2 )= v

V es la función desconocida de las dos variables independientes x y y es una ecuación diferencial parcial. Se define V = F(x, y) para hacer más claro que x y y son variables independientes y v es la variable dependiente.

Clasificación según su orden: el orden de buna ecuación diferencial ya sea ordinaria o parcial es el orden de la derivada más alta que aparece en la ecuación. Por ejemplo:

〖 y〗^¡ = 2x+y

El orden de esta ecuación de esta ecuación diferencial es de primer orden ya que solo tiene una derivada de y con respecto a x.

(d^2 y)/(dx^2 )-dy/dx+6y=0

El orden de esta ecuación diferencial es de segundo orden, de y con respecto a x.

Clasificación según su linealidad: una ecuación diferencial es lineal cuando puede ser escrita de la forma:

a_0(x)y(^n)+ a_1(x)y(^(n-1))+ . .+ a_(n-1) (x)y^!+a_n(X)y =F(x) y los coeficientes a, (x), a_1(x),. ., a, (x) son funciones de x y a, (x) no es idéntica a cero. Por ejemplo:

(y – x) dx+4xdy= 0 y^!!- 2y^!+y =0

Podemos decir que una ecuación diferencial es lineal cuando la variable dependiente y sus derivadas son tan solo de grado uno, y no de grados superiores y no se hallan en productos.

Cuando una ecuación diferencial no puede ser escrita de la forma anterior, se dice que es una ecuación no lineal. Por ejemplo:

(1 + y) y^!+2y= e^x (d^2 y)/(dx^2 )+sen (d^4 y)/(dx^4 )+y^2=0

...