ECUACIONES DIFERENCIALES

ECUACIONES DIFERENCIALES

HABILIDADES

Reconoce una ecuación diferencial de la forma y’= f(x,y).

Verifica si una función f(x) es solución de una ecuación diferencial.

Obtiene la solución de una ecuación diferencial.

Describe mediante una ecuación diferencial la Interpretación de modelos.

DEFINICION

Una ecuación diferencial es aquélla que contiene una función desconocida y una o más de sus derivadas.

El orden de una ecuación diferencial es el correspondiente a la derivada de orden más alto que se tenga en la ecuación.

Una función f es una solución de una ecuación diferencial, si ésta se cumple cuando se sustituyen y = f(x) y sus derivadas en ella, para todos los valores de x en algún intervalo I.

Resolver una ecuación diferencial es hallar todas las soluciones posibles de ella, es decir, hallar la solución general de ella.

EJEMPLO

d2y ═ xy (es una ecuación diferencial de segundo orden)

〖dx〗^2

(Es una ecuación diferencial de primer orden)

Resolver un problema con valor inicial es hallar una solución de una ecuación diferencial que cumpla una condición inicial, y(x0) = y0.

Forma general

La forma general de una ecuación diferencial de primer orden es:

ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLES

Una ecuación diferencial de variables separables es una ecuación diferencial de primer orden en la cual la expresión para dy/dx se puede factorizar como:

O también como: si g(Y)≠0

RESOLUCION DE LAS ECUACIONES CON VARIABLES SEPARABLES

Escribimos la ecuación separable en forma diferencial:

o también como:

si g(y) ≠ 0

Según sea el caso. Luego integramos, con respecto a y en el miembro izquierdo y con respecto a x en el miembro derecho.

CRECIMIENTO POBLACIONAL

Se considera que en condiciones de ambiente y suministro alimenticio ilimitados, la rapidez con la cual crece una población es proporcional al tamaño presente de dicha población. Sea A la población inicial.

ECUACIÓN DIFERENCIAL QUE MODELA:

FUNCIÓN DE CRECIMIENTO POBLACIONAL:

Desintegración radiactiva

Se considera que la rapidez con la cual se desintegra un material radiactivo es proporcional a la masa presente de dicho material. Sea m0 la masa inicial del material radiactivo.

Ecuación diferencial que modela:

Función de desintegración radiactiva:

MEZCLAS

Un problema típico de mezclado comprende un tanque de capacidad fija V, lleno con una una solución completamente mezclada

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