Ecuaciones Diferenciales

1.- Marco Teórico:

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:

• Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente(comúnmente abreviada "EDO") es la que contiene una función desconocida de una variable independiente y relaciona con sus derivadas:

• una sola variable independiente (a diferencia de las ecuaciones diferenciales parciales que involucran derivadas parciales de varias variables), y

• una o más de sus derivadas respecto de tal variable.

• Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables(a veces abreviado como EDP) es una relación entre una función matemática u de varias variables independientes x,y,z,t,... y las derivadas parciales de u respecto de esas variables. Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulación matemática de procesos de la física y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo.

2.- DEFINICION

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que aparecen derivadas o diferenciales. Si una ecuación contiene solo derivadas de una función de una variable, entonces se dice que es ordinaria. Una ecuación diferencial parcial contiene derivadas parciales. En este capítulo se desarrollan algunos métodos para resolver los tipos básicos de ecuaciones diferenciales ordinarias. La intención de este análisis no es una disertación sobre el tema sino bien servir de introducción a esta área tan vasta y a la vez tan importante de las matemáticas.

ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES

Una ecuación en la que aparecen x,y, y´y´´,... y y(n) , donde y es una función de x y y (n) es la n-esima derivada de y con respecto a x, es una ecuación diferencial ordinaria de orden n. Los siguientes ejemplos son ecuaciones ordinarias del orden especificado:

Recordemos que una función f (o f(x) es una solución de una ecuación diferencial si al sustituir y por f (x) se obtiene una identidad para todo x en un intervalo. Por ejemplo, la ecuación diferencial

Y´ = 6x 2 - 5

Tiene solución

F (x) = 2x3 - 5x + C

Para todo real C, porque al sustituir y por f(x) se llega a la identidad 6x 2 - 5 = 6x 2 - 5. Se dice que f(x) = 2x 3 - 5x + C es la solución general de y´= 6x 2 - 5 porque todas las soluciones son de esta forma. Se obtiene una solución particular asignando valores específicos a C. Por ejemplo, tomando C = 0 se obtiene la solución particular y = 2x3 – 5x.

3.- CLAIFICACION

se clasifican en ecuaciones ordinarias y parciales:

Ecuaciones ordinarias: 2 ejemplos…

Resolver la ecuación diferencial:

y′=p(x)⋅y=0

con la condición y(0) = 1 siendo :

Respuesta al ejercicio 1

Esta ecuación es del tipo lineal por ser de primer grado en y' e y. La ecuación tendrá una solución para cada uno de los intervalos indicados. Calculamos la primera de ellas con la condición y(0) = 1.

y′+2y=0;dy+2y⋅dx=0;dyy+2dx=0;lny+2x=lnC

Si tomamos antilogaritmos tenemos:

y=C⋅e−2x;1=C⇒y=e−2x∀0≤x≤1

La ecuación resultante toma para x = 1 el valor e-2 con lo que la siguiente ecuación tenemos que resolverla en la forma:

y' + y = 0 ; con la condición y(1) = e-2

Tenemos según eso:

y′+y=0;dy+y⋅dx=0;dyy+dx=0;lny+x=lnC

y considerando el valor y(1) = e-2

e−2=C⋅e−1;C=e−1⇒y=e−1⋅e−x=e−(x+1)∀x>1

Respuesta al ejercicio 2

La ecuación es

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