ECUACIONES DIFERENCIALES

INTRODUCCION.

ECUACIONES DIFERENCIALES.

• Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.

• Ecuaciones Diferenciales Parciales.

 Orden De Una Ecuación Diferencial.

 Grado De Una Ecuación Diferencial.

 Solución de una Ecuación Deferencial.

o Solución General.

o Solución Particular.

o Solución Singular.

TEOREMA DE TORRICELLI.

VACIADO DE TANQUES.

• Modelo Matemático Del Vaciado De Tanques.

• Vaciado De Tanques.

• Algunos Tipos de Tanques.

• Tiempo De Descarga En Tanques Y Recipientes.

• Influencia De La Geometría Del Recipiente.

EJERCICIOS RESUELTOS.

EJERCICIOS PROPUESTOS.

BIBLIOGRAFÍA.

INTRODUCCION

El principal propósito de este trabajo es explicar mediante ejemplos la resolución de problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias al vaciado de tanques que pueden contener líquidos, este caso es utilizado en muchos proyectos y para ello se necesita saber predecir el tiempo que demora en vaciarse todo o alguna parte del contenido, como también saber el volumen de liquido que desaloja en un determinado instante; aquí se demuestra como conseguir esta información con la ayuda de las Ecuaciones Diferenciales de 1er grado.

Un ejemplo claro de la utilización de estas ecuaciones en la vida cotidiana es en procesos industriales, en la industrias existe en un momento dado la necesidad de vaciar sus tanques sea confines de limpieza temporaria o simplemente para efectuar algún trabajo de mantenimiento en los mismos. En otras situaciones, se precisa trasvasar producto de un equipo a otro aprovechándolas diferencias de niveles entre ellos cualquiera sea su disposición, esto es, descarga por gravedad desde un nivel superior a otro inferior o bien entre tanques ubicados horizontalmente.

En ambos casos, se trata de aprovechar la gravedad para producir estos efectos sin necesidad de tener que recurrir a un equipo de bombeo, evitando de esta forma también el gasto energético que su empleo requiere. Como ya expresáramos, se busca pues eliminar actividades que generen costos y no agreguen valor a o los productos elaborados. Muchos problemas físicos dependen de alguna manera de la geometría. Uno de ellos es la salida de líquido de un tanque a través de un orificio situado al fondo del mismo. La forma geométrica del recipiente determina el comportamiento físico del agua.

El vaciado de tanques y recipientes así como la transferencia de productos entre ellos son operaciones frecuentes en las plantas de procesos (almacenaje de petróleo y combustibles, cervecerías, bodegas, lácteos, bebidas en general, etc.). Estas operaciones pueden efectuarse por medio de bombas o bien por convección natural aprovechando las diferencias de niveles entre tanques. En este último caso es importante conocer los tiempos requeridos dado que pueden ser importantes para la operación y la planificación de actividades varias sobre estos equipos. El tema que presenta interés práctico, no es tratado en los textos clásicos de operaciones unitarias pero sí en publicaciones técnicas de la especialidad con lo que se demuestra la importancia de sus aplicaciones en la industria.

ECUACIONES DIFERENCIALES

Las ecuaciones diferenciales aparecen a partir de las familias de curvas geométricas y del intento de describir en términos matemáticos, problemas físicos en ciencias e ingeniería.

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:

 Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.

 Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.

Orden de una ecuación diferencial

El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se denomina orden de la ecuación.

Grado de una ecuación diferencial

Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación esté en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.

Solución de una Ecuación Deferencial

Una solución de una ecuación diferencial es una función que al reemplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir, la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones:

 Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa.

 Solución particular: Si fijando cualquier punto por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto , que recibe el nombre de condición inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico.

 Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general.

TEOREMA DE TORRICELLI

El teorema de Torricelli es una aplicación del principio de Bernoulli y estudia el flujo de un líquido contenido en un recipiente, a través de un pequeño orificio, bajo la acción de la gravedad. A partir del teorema de Torricelli se puede calcular el caudal de salida de un líquido por un orificio. "La velocidad de un líquido en una vasija abierta, por un orificio, es la que tendría un cuerpo cualquiera, cayendo libremente en el vacío desde el nivel del líquido hasta el centro de gravedad del orificio":

Donde:

Vt es la velocidad teórica del líquido a la salida del orificio.

V0 es la velocidad de aproximación.

h es la distancia desde la superficie del líquido

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