Ecuaciones Diferenciales

Ensayo

En el estudio de las ciencias e ingeniería, así como en otros campos tales como, la economía, medicina, psicología, investigación de operaciones entre otros, se desarrollan modelos matemáticos para ayudar a comprender la fenomenología o el origen de ciertos problemas físicos, biológicos, sociales, etc. Estos modelos a menudo dan lugar a una ecuación que contiene ciertas derivadas de una función incógnita o función desconocida. A una ecuación de este tipo se le denomina ecuación diferencial.

Una ecuación diferencial es aquella ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables independientes. Las ecuaciones diferenciales se clasifican por tipo, orden y linealidad.

Clasificación por Tipo:

• Si una ecuación contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO).

• Si una ecuación con derivadas de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes se llama ecuación diferencial parcial (EDP).

Clasificación según el orden: El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o EDP) es el orden de la derivada mayor en la ecuación:

• Esta ecuación es de orden 2, no debe confundirse con el exponente 3 que está definido para la derivada de orden 1. Y como para el orden se debe tener en cuenta el mayor orden entonces el orden es 2.

• y'''+ 3y'' - 3y' - y = 0 es una ecuación de orden 3

• M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 es una ecuación diferencial de orden 1, porque hay que tener en cuenta que y' = dy/dx.

Clasificación según la Linealidad: Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si F es lineal en y, y',..., y(n). Esto significa que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal cuando F (x, y, y',..., y(n)) = 0 es:

La solución de una ecuación diferencial es cualquier función o relación que satisface la ecuación, dicho en otras palabras, la reduce a una identidad.

Una función o relación que satisface a una ecuación diferencial y en su estructura la variable dependiente se expresa tan solo en términos de la(s) variable(s) independiente(s) y constante(s) se llama solución explicita.

Una función o relación que satisface a una ecuación diferencial y que involucra en su estructura tanto variables dependientes como independientes decimos que es una solución implícita de la ecuación diferencial dada.

Un problema de valor inicial, es un problema que busca determinar una solución a una ecuación diferencial sujeta a condiciones sobre la función desconocida y sus derivadas especificadas en un valor de la variable independiente.

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