Ecuaciones Diferenciales

LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PERMITEN MODELAR (REPRESENTAR MATEMÁTICAMENTE) EL COMPORTAMIENTO DE FENÓMENOS QUE TIENEN QUE VER CRECIMIENTO Y DECREMENTO Y PERMITEN ENTRE MUCHAS OTRAS COSAS, CALCULAR EL NÚMERO DE BACTERIAS QUE SE REPRODUCEN EN PRODUCTOS LÁCTEOS AL CABO DE CIERTO TIEMPO, EL TIEMPO NECESARIO PARA QUE CIERTA CANTIDFAD DE PRODUCTO SE ENFRÍE/CALIENTE, EL TIEMPO NECESARIO PARA QUE EXISTA LA FERMENTACIÓN, DESCOMPOSICIÓN DE AZÚCARES, ETC.

Ecuación diferencial

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Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:

Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.

Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.

Índice [ocultar]

1 Introducción 1.1 Orden de la ecuación

1.2 Grado de la ecuación

1.3 Ecuación diferencial lineal

1.4 Usos

1.5 Ecuaciones semilineales y cuasilineales

2 Solución de una ecuación diferencial 2.1 Tipos de soluciones 2.1.1 Solución general

2.1.2 Solución particular

2.1.3 Solución singular

2.2 Resolución de algunas ecuaciones

3 Véase también

4 Bibliografía

5 Enlaces externos

Introducción[editar]

Una ecuación diferencial es una ecuación que incluye expresiones o términos que involucran a una función matemática incógnita y sus derivadas. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:

\,y'= 2xy + 1

es una ecuación diferencial ordinaria, donde \,y representa una función no especificada de la variable independiente \,x, es decir, \,y=f(x), y'=\frac{dy}{dx} es la derivada de \,y con respecto a \,x.La expresión \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y}=0

es una ecuación en derivadas parciales.

A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace).

Orden de la ecuación[editar]

El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se denomina orden de la ecuación.

Grado de la ecuación[editar]

Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación esté en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.

Ecuación diferencial lineal[editar]

Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma \, a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \dots + a_1(x)y' +a_0(x)y=g(x), es decir:

Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.

En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.

Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.

Ejemplos:

\,y'= y es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones y = f(x) = k \cdot e^x , con k un número real cualquiera.

\,y'' + y = 0 es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones y = f(x) = a \cos (x) + b \sin (x)\,, con a y b reales.

\,y'' - y = 0 es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones \,a \cdot e^x+b \cdot 1/(e^x), con a y b reales.

Usos[editar]

Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en economía.

En dinámica estructural, la ecuación diferencial que define el movimiento de una estructura es:

\mathbf{Mx}''(t)+ \mathbf{Cx}'(t)+\mathbf{Kx}(t)=\mathbf{P}(t) \,

Donde M es la matriz que describe la masa de la estructura, C es la matriz que describe el amortiguamiento de la estructura, K es la matriz de rigidez que describe la rigidez de la estructura, x es vector de desplazamientos [nodales] de la estructura, P es el vector de fuerzas (nodales

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