Ecuaciones Diferenciales

ECUACIÓN DIFERENCIAL

Es importante recordar que una ecuación es una proposición matemática que involucra una igualdad entre dos expresiones de cualquier índole, con la condición de que estas expresiones contengan términos indefinidos. Estos términos son expresiones, a veces llamadas incógnitas o indeterminadas, que representan algo (un número, vector, matriz, función, etc.) que no tiene asignado un valor fijo, pero puede ser sustituido, en teoría al menos, por cualquier valor apropiado.

Algunos valores convierten a la ecuación en una proposición falsa y otros en una proposición verdadera (la ecuación conteniendo incógnitas no se puede calificar nunca como falsa o verdadera, hasta que se sustituyen las incógnitas por valores apropiados); a estos últimos valores se les llama soluciones de la ecuación.

Las leyes del universo están descritas en el lenguaje de las matemáticas. El álgebra es suficiente para resolver muchos problemas estáticos, pero la mayoría de los fenómenos naturales más interesantes involucra cambios descritos por ecuaciones que relacionan cantidades que cambian.

Debido a que la derivada de la función es la razón a la cual la cantidad está cambiando respecto de la variable t independiente, es natural que las ecuaciones que involucran derivadas se usen frecuentemente para describir el universo cambiante. Una ecuación que relaciona una función desconocida con una o más derivadas se llama ecuación diferencial.

DEFINICIÓN: Una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona una o más variables independientes con alguna variable dependiente y sus derivadas.

Es decir, es una ecuación que contiene las derivadas de una función o variable dependiente con respecto a una o más variables independientes.

Ejemplos:

1.

2.

3.

4. ; Modelo del aprendizaje de una tarea en este caso representa el nivel de habilidad del estudiante como función del tiempo, las constantes dependen del individuo y la naturaleza de la tarea.

5. ; Cuerda vibrante y la propagación de ondas, donde representa el tiempo, la posición a lo largo de la cuerda, la rapidez de la onda y el desplazamiento de la cuerda, que es una función del tiempo y la posición.

6. , ecuación de calor o de difusión.

En la ecuación (1) y es la variable dependiente, y es una función desconocida que depende de la variable independiente x, representa la primera derivada de y con respecto a x.

ORDEN Y GRADO DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

• El orden de una ED, es el orden de la derivada más alta que aparece en la ecuación.

• El grado de una ED, está dado por el exponente (GRADO) de la derivada de mayor orden que aparezca en la ecuación.

Ejemplos:

1. es de orden y de grado.

2. es de orden y de grado.

3. es de orden y de grado.

4. es de orden y de grado.

5. es de orden y de grado.

6. es de orden y de grado.

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES SEGÚN EL TIPO, ORDEN Y GRADO

1. SEGÚN EL TIPO: se clasifican en: Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) y ecuaciones diferenciales parciales (EDP).

Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO): Una ecuación diferencial es una ecuación diferencial ordinaria (EDO), si la función desconocida depende solamente de una variable independiente.

Ejemplos:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8. (Ecuación diferencial de la corriente eléctrica, donde q es la carga eléctrica, R es la resistencia, L es la inductancia y C la capacitancia).

Ecuación Diferencial Parcial (EDP): Una ecuación diferencial es una ecuación diferencial parcial (EDP), si la función desconocida depende de dos o más variables independientes.

Ejemplos:

1.

2.

3. (Ecuación diferencial de la onda)

4.

5.

2. SEGÚN EL ORDEN: se clasifican en ecuaciones de primer, segundo y tercer orden, etc., según sea la mayor derivada que aparezca en la expresión.

Ejemplo:

1. es una EDO de orden.

2. es una EDO de orden.

3. es una EDO de orden.

4. es una EDP de orden.

5. es una EDO de orden.

3. SEGÚN EL GRADO: Se clasifican en lineales (EDL) y no lineales (EDNL), siempre y cuando la solución diferencial esté dada en forma de polinomio.

Ecuación diferencial ordinaria lineal (EDOL): esta ecuación diferencial tiene dos características que la distinguen del resto:

a) La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer grado.

b) Los coeficientes de la variable y y de sus derivadas dependen sólo de la variable independiente x, o bien son constantes.

Su forma general es:

Donde , depende sólo de la variable independiente .

Si , la EDO se llama lineal homogénea.

Si , la EDO se llama lineal no homogénea.

Ejemplo:

1. es una EDO lineal no homogénea de orden.

2. es una EDO lineal homogénea de orden.

3. , Edo. lineal de orden 2 no homogénea.

Ecuación diferencial no lineal (EDONL): Todas las ecuaciones que no sean lineales son no lineales.

Ejemplos:

1. es una EDO no lineal homogénea de orden.

2. es una EDO no lineal homogénea de orden

3. , Edo. No lineal de orden 3 homogénea.

Donde la ecuación (1), (2), (3), tienen coeficientes que dependen de la variable independiente x y de la variable dependiente y, en consecuencia, no son ecuaciones diferenciales ordinarias lineales.

DEFINICIÓN: Decimos que una ecuación diferencial ordinaria de orden n está expresada en forma implícita cuando tiene la forma:

Y decimos que está expresada en forma explícita cuando tenemos:

ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Las ecuaciones diferenciales aparecen no solo a partir de conceptos puramente matemáticos, sino también del intento de describir en términos matemáticos problemas físicos en ciencias. Además, proporcionan un importante instrumento de trabajo en áreas como la ingeniería y la economía.

1. Ley de enfriamiento de Newton: La razón de cambio del tiempo t (la razón de cambio respecto del tiempo) de la temperatura de un cuerpo es proporcional

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