Ecuaciones Diferenciales

Las primeras y más sencillas ecuaciones diferenciales fueron resueltas en

el siglo XVII por Newton, Leibniz y los hermanos Bernoulli en problemas de

Geometría y Mecánica. Estos primeros descubrimientos hicieron creer que

las soluciones de todas las ecuaciones diferenciales originadas en problemas

geométricos y físicos podrían expresarse por medio de las funciones

elementales del Cálculo. Por ello gran parte de los primeros esfuerzos

fueron orientados al desarrollo de técnicas ingeniosas para resolver

ecuaciones diferenciales por medio de recursos sencillos aplicados, tan sólo

un número finito de veces, a las funciones ordinarias del Cálculo.

Durante el siglo XVIII, fueron desarrollados procedimientos más

sistemáticos, principalmente por Euler, Lagrange y Laplace.

En 1820, Cauchy obtuvo el primer “teorema de existencia” para las

ecuaciones diferenciales, pero en 1841, José Liouville, demostró que tal

condición no siempre era posible con medios elementales.

I-3.-Definici Definici Definición genérica ón genérica ón genéricade ecuación diferencial de ecuación diferencial de ecuación diferencial

Genéricamente, se llama ecuación diferencial ecuación diferencial a una ecuación que vincula

un conjunto de variables independientes, un conjunto de funciones en

dichas variables independientes y un conjunto de derivadas (ordinarias o

parciales) de estas funciones.

Más precisamente, una ecuación diferencial es una ecuación en la que

intervienen derivadas totales o parciales de una función desconocida y:

i) si aparece una sola variable independiente, las derivadas son

derivadas ordinarias y la ecuación se denomina ecuación diferencial

ordinaria.

ii) si aparecen dos o más variables independientes, las derivadas son

derivadas parciales y la ecuación se llama ecuación en derivadas parciales.

Luego, en los casos particulares, si la función desconocida es: I.S.F.D. Nº 127 “Ciudad del Acuerdo”

Profesoras: Graciela Bojanich y Micaela Susana Luque

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 i) una función escalar

(o función real de variable real,

x A y f x R

f A R A R

∈ → = ∈

→ ⊆

( )

: /

),

la ecuación diferencial será ordinaria y las derivadas que intervienen son

ordinarias;

 ii) un campo escalar

(o función real de variable vectorial o de varias variables

r A y f r R

f A R A R

n

∈ → = ∈

→ ⊆

( )

: / ),

la ecuación diferencial será en derivadas parciales y las derivadas que

intervienen son parciales.

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