Ecuaciones Diferenciales

Circuito resistivo-inductivo serie.

La forma general de un circuito RL serie bajo excitación de tensión es la siguiente:

La respuesta a esta excitación de tensión será una corriente i que producirá sobre la resistencia y sobre la inductancia sendas caídas de tensión, las cuales vendrán dadas respectivamente por:

Si aplicamos al circuito la segunda ley de Kirchoff, tendremos que el valor instantáneo de la tensión en función del tiempo será:

En esta última expresión observamos:

1.- La respuesta a la transición depende de una ecuación diferencial lineal de primer orden, donde este, viene dado por la cantidad de elementos reactivos del circuito.

2.- Debido a que hay una excitación v, la ecuación es no homogénea lo cual dificulta su resolución.

Analizaremos ahora el comportamiento de este circuito bajo diversos tipos de excitación.

2.- Circuito R L serie sin excitación con condiciones iniciales no nulas.

Este caso es denominado: Régimen natural

Partamos del siguiente circuito:

Luego de un tiempo prolongado de funcionamiento circulará una corriente Io como la indicada en el circuito. En un determinado instante que designamos con t =0 se abre la llave l, de forma tal que en la bobina se cumplirá:

t = 0 entonces i = Io

Bajo estas condiciones estudiaremos como varía la corriente i en función del tiempo a través del circuito que contiene a la resistencia R.

El circuito, queda así librado a la única acción de la energía concentrada en el campo magnético de la bobina la cual retorna al circuito disipándose progresivamente en el resistor en forma de calor.

Del párrafo anterior sabemos que:

Pero en este caso v = 0, por lo tanto:

Esta última ecuación diferencial es lineal, de primer orden y homogénea, la cual puede resolverse separando diferenciales, es decir, se procede como sigue:

Para resolver esta ecuación integramos ambos miembros, con lo que obtenemos:

El valor de la constante de integración K, lo obtenemos aplicando a la última expresión las condiciones iniciales, es decir:

t = 0 entonces i = Io por lo tanto

ln Io = K

valor este que remplazando en la expresión anterior, nos da:

operando en esta última expresión obtenemos:

de donde:

Es decir que el proceso tiene una variación exponencial , se inicia cuando la relación de intensidades es uno para t = 0 y tiende asintóticamente a cero tal cual se puede observar en el gráfico:

Hallemos ahora el valor de la subtangente, en el triángulo formado en la figura por los ejes y la recta tangente a la curva en t = 0, observemos:

tg  = St / 1 de donde St = 1 . tg a)

por otro lado:

(b)

Relacionando las expresiones (a) y (b), llegamos a la conclusión:

donde la subtangente es el tiempo al cabo del cual el valor final de la corriente es nulo si el decrecimiento en lugar de ser exponencial se verifica en forma lineal con la misma pendiente del instante t = 0.

A dicho tiempo  se lo llama constante de tiempo y su unidad es el segundo. Es posible demostrar que no solamente para t = 0, sino para cualquier otro instante, la subtangente continua tomando el mismo valor, es decir, que la constante de tiempo es una característica de los parámetros del circuito y jamás del tipo de excitación.

Dijimos que si el proceso fuese lineal al cabo de t =  segundos, la corriente sería nula, pero debido a la naturaleza exponencial del fenómeno el valor será:

Es decir que al cabo de un tiempo  la corriente se reduce en un 36,8 % del valor inicial, o también que existe una reducción del 63,2% del valor total.

En definitiva, la intensidad en función del tiempo, vendrá dada por:

Las caídas de tensión instantáneas en las resistencias y en la inductancia en función del tiempo, serán:

Grafiquemos estas tres expresiones en función del tiempo:

3.- Circuito R L serie con excitación escalón y condiciones iniciales nulas.

La excitación escalón corresponde a la siguiente expresión matemática:

t entonces u (t) = 0

t > 0 entonces e (t) = V

Partimos como siempre de la expresión:

siendo nuestro circuito el siguiente:

Esta última expresión, es una expresión diferencial no homogénea, lineal de primer orden, la cual para resolverla requerirá una previa separación de variables tal cual se indica en las operaciones que haremos.

por tanto

integrando ambos miembros:

(1)

Resta ahora aplicar las condiciones iniciales, es decir:

para t = 0 i = 0

y con esto determinar K:

por tanto

reemplazando el valor de K en ( 1 ):

multiplicando por – l esta última expresión y operando llegamos a :

luego, la caída de tensión en la resistencia será:

y la caída de tensión en la bobina será:

Representando estas tres expresiones gráficamente obtendremos:

Cabe, ahora, hacer las siguientes consideraciones como conclusión:

1.-Tanto i como vr y vl tienen dos términos, el primero que no es función del tiempo (en el caso del vl vale cero) y describe el comportamiento final del circuito. Corresponde al régimen permanente también llamado estacionario o forzado. Por ejemplo la corriente forzada será igual a V/R y responde justamente a la ley de 0hm.

2.- El segundo término describe el régimen natural del circuito el que depende primero de las condiciones

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