Ecuaciones Diferenciales

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER

FACULTAD DE INGENIERIAS

INGENIERIA DE SISTEMAS

CUCUTA

2008

DEFINICION

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que aparecen derivadas o diferenciales. Si una ecuación contiene solo derivadas de una función de una variable, entonces se dice que es ordinaria. Una ecuación diferencial parcial contiene derivadas parciales. En este capítulo se desarrollan algunos métodos para resolver los tipos básicos de ecuaciones diferenciales ordinarias. La intención de este análisis no es una disertación sobre el tema sino bien servir de introducción a esta área tan vasta y a la vez tan importante de las matemáticas.

ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES

Una ecuación en la que aparecen x,y, y´y´´,... y y(n) , donde y es una función de x y y (n) es la n-esima derivada de y con respecto a x, es una ecuación diferencial ordinaria de orden n. Los siguientes ejemplos son ecuaciones ordinarias del orden especificado:

ORDEN 1: Y´=2x

ORDEN 2: D²y / dx² + x²( dy / dx )³ - 15y= 0

ORDEN 3: ( y¨¨)4 – x²(y¨ )5 + 4xy = x ex

ORDEN 4: (d 4y /dx4 ) - 1 = x³ dy/ dx

Recordemos que una función f (o f(x) es una solución de una ecuación diferencial si al sustituir y por f (x) se obtiene una identidad para todo x en un intervalo. Por ejemplo, la ecuación diferencial

Y´ = 6x 2 - 5

Tiene solución

F (x) = 2x3 - 5x + C

Para todo real C, porque al sustituir y por f(x) se llega a la identidad 6x 2 - 5 = 6x 2 - 5. Se dice que f(x) = 2x 3 - 5x + C es la solución general de y´= 6x 2 - 5 porque todas las soluciones son de esta forma. Se obtiene una solución particular asignando valores específicos a C. Por ejemplo, tomando C = 0 se obtiene la solución particular y = 2x3 – 5x. A veces se dan condiciones iniciales para determinar una solución particular, como se ilustra en el siguiente ejemplo

EJEMPLO 1

a.Encontrar la solución general de la ecuación diferencial y´= 2x

b.Obtener una solución particular de y´ = 2x que satisfaga la siguiente condición: y = 3 cuando x = 0

SOLUCIÓN

a.Si f es una solución de y´ = 2x, entonces f´´(x) = 2x. La integral indefinida lleva a la solución general

Y = f (x) = x² + C.

Podemos encontrar soluciones particulares asignando valores específicos a C. Así obtenemos la familia de parábolas y = x² + C

b.Si y = 3 cuando x = 0, entonces sustituyendo en y = x² + C obtenemos 3 = 0 + C, o bien C = 3. Por lo tanto, la solución particular es y = x² + 3

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