Ecuaciones Diferenciales

APORTE DE TRABAJO COLABORATIVO

PRESENTADO POR

EUGENIA KARINA LOSADA VARGAS

PRESENTADO A

ADRIANA GRANADOS COMBA

TUTOR(A)

GRUPO N. 100412 A

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

CURSO VIRTUAL ECUACIONES DIFERENCIALES

BOGOTA, OCTUBRE

2013

Resuelva el problema del valor inicial si y(1)=2 y´(1)=1 en:

〖2x〗^(2 ) y´´+3xy´-y=0

Comenzaremos resolviendo la ecuación equi-dimensional de Euler

x=e^z

Tenemos que → ax^2 y''+bxy'-cy=0

→ax^2 z(z-1) x^(z-2)+bx*zx^(z-1)+cx^z=0

→az(z-1) x^z+b*zx^z+cx^z=0

Después tenemos la siguiente ecuación →az(z-1)+b*z+c=0

az^2-az+b*z+c=0

az^2+z(b-a)+c=0

Ahora podemos reemplazar →a=2; b=3; c=-1

2z^2+z(3-2)-1=0

2z^2+z(1)-1=0

z1=-1 (z2)=1/2

y=(c1x)^z1+(c2x)^z2

Seguimos Reemplazando →y=(c1x)^(-1)+(c2x)^(1/2)

y'=[(-c1) x]^(-2)+1/2 (c2 e)^(-1/2)

De acuerdo al inicio se reemplaza: →y(1) = 2 y’(1) = 1

2=[(c1) 1]^(-1)+[(c2)1]^(1/2)

2=c1+c2 (1)

1=[(-c1)1]^(-2)+1/2[(c2)1]^(-1/2)

1=(-c1)+1/2 c2 (2)

Ahora si Resolvemos (1) y (2) →c1=0 y c2=2

Tenemos:y=(0x)^(-1)+(2x)^(1/2)

Determine el wronskiano de los siguientes pares de funciones:

Y_1= Cos (3x) ; y_2= Sen (3x)

w(cos⁡〖3x,sen 3x〗 )=

d/dx(w(cos⁡(3x),sen(3x)))

d/dx (w(cos⁡(3x),sen(3x)))=(dw(u,v))/du du/dx+(dw(u,v))/dv dv/dx ,→

u=cos⁡(3x),v=sen(3x)→ d/du (w(u,v))=w^(1,0 ) (u,v),d/dv (w(u,v))=w^(1,0 ) (u,v)=

(d/dx (sen(3x))) w^((1,0) ) (cos⁡(3x),sen (3x))+(d/dx (cos⁡(3x)))w^((1,0) ) (cos⁡(3x),sen (3x))

d/dx (sen(3x))=(d(sen(u)))/du du/dx→ u=3x →d/du (sen(u))=cos⁡(u)

→cos⁡(3x) d/dx (3x) → cos⁡(3x),sen(3x) +(d/dx(cos⁡(3x) ))w^((1,0) ) (cos⁡(3x)) ,(sen(3x))

3 d/dx(x) cos⁡〖(3x) w^((1,0) ) 〗 〖(cos〗⁡〖(3x)〗) ,(sen(3x))+(d/dx (cos⁡(3x)))w^((1,0) ) (cos⁡(3x) ,(sen(3x)))

(1) 3 cos⁡〖(3x) w^((1,0) ) 〗 (cos⁡(3x),(sen(3x))+(d/dx (cos⁡(3x))) w^((1,0) ) (cos⁡(3x) ,(sen(3x)))

d/dx (cos⁡(3x))= d(cos (u))/du du/dx→u=3x →du/dx (cos⁡〖(u))=-sen (u)〗

3 cos⁡(3x) w^((1,0) ) (cos⁡(3x),(sen(3x)))+(-d/dx (3x)sen⁡(3x)) w^((1,0) ) (cos⁡(3x) ,(sen(3x)))

→3 cos⁡(3x) w^((1,0) ) (cos⁡(3x),(sen(3x)))-3 d/dx (x)sen (3x)w^((1,0) ) (cos⁡(3x) ,(sen(3x)))

→3 cos⁡〖(3x) w^((1,0) ) 〗 (cos⁡(3x),(sen(3x)))-3( d/dx (x))(sen(3x)) w^((1,0) ) (cos⁡〖(3x),(sen(3x))〗)

3 cos⁡〖(3x) w^((1,0) ) 〗 (cos⁡〖(3x),(sen(3x))〗

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