Ecuaciones Diferenciales

TRABAJO COLABORATIVO 3

ELIANA SARRIA CLAROS

SANDRA MILENA RAMIREZ

GRUPO 100412_1

TUTOR OSCAR JHONNY GOMEZ

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

ECUACIONES DIFERENCIALES

2013

SOLUCIÓN TALLER ECUACIONES:

Hallar el radio de convergencia de las siguientes series:

∑_(n=1)^∞▒〖(x-3)〗^n/n^3

como a_n=1/n^3 ,entonces a_(n+1)=1/((〖n+1)〗^3 )

Veamos si existe lim┬(n→∞)⁡|a_(n+1)/a_n |

lim┬(n→∞)⁡|a_(n+1)/a_n |=lim┬(n→∞)⁡|(1/((〖n+1)〗^3 ))/(1/n^3 )|=lim┬(n→∞)⁡〖|n^3/((〖n+1)〗^3 )|=1=μ〗

Entonces el radio de convergencia es R=1.

∑_(n=1)^∞▒〖〖(-1)〗^n/n 〗 x^n

como a_n=〖(-1)〗^n/n,entonces a_(n+1)=〖(-1)〗^(n+1)/(n+1)

Veamos si existe lim┬(n→∞)⁡|a_(n+1)/a_n |

lim┬(n→∞)⁡|a_(n+1)/a_n |=lim┬(n→∞)⁡|(〖(-1)〗^(n+1)/(n+1))/(〖(-1)〗^n/n)|=lim┬(n→∞)⁡〖|n/(n+1)|=1=μ〗

Entonces el radio de convergencia es R=1.

Mediante series de potencias resolver la ecuación diferencial y escríbala en forma de serie ∑_(n=1)^∞▒〖c_n x^n 〗

y^'+y=0

sea y=∑_(n=0)^∞▒〖c_n x^n 〗,entonces y'=∑_(n=1)^∞▒〖n c_n x^(n-1) 〗

Sustituyamos en la ecuación, esto es:

y^'+y=∑_(n=1)^∞▒〖n c_n x^(n-1) 〗+∑_(n=0)^∞▒〖c_n x^n 〗=0

∑_(n=0)^∞▒〖(n+1) c_(n+1) x^n 〗+∑_(n=0)^∞▒〖c_n x^n 〗=0

∑_(n=0)^∞▒〖[(n+1) c_(n+1) x^n+c_n x^n ] 〗=0

∑_(n=0)^∞▒〖[(n+1) c_(n+1)+c_n ] 〖 x〗^n 〗=0

Por tanto (n+1) c_(n+1)+c_n=0 → (n+1) c_(n+1)=-c_n

c_(n+1)=-c_n/((n+1) )

para n=0 → c_1=-c_0/((0+1) )=-c_0

para n=1 → c_2=-c_1/((1+1) )=-c_1/2=-〖-c〗_0/2=c_0/2=c_0/2!

para n=2 → c_3=-c_2/((2+1) )=-c_2/3=-(c_0/2)/3=-c_0/6=-c_0/3!

para n=3 → c_4=-c_3/((3+1) )=-(-c_0/3!)/4=(c_0/3!)/4=c_0/24=c_0/4!

Por tanto

y=∑_(n=0)^∞▒〖c_n x^n 〗=c_0+c_1 x+c_2 x^2+c_3 x^3+⋯

y=c_0-c_0 x+c_0/2! x^2-c_0/3! x^3+c_0/4! x^4…

y=c_0 (1+(-x)+1/2! (x)^2+1/3! 〖(-x)〗^3+1/4! x^4-…)

y=∑_(n=0)^∞▒〖〖(-x)〗^n/n! 〗=-e^x

Mediante series de potencias resolver la ecuación diferencial y escríbala en forma de serie:

(x+1) y^'-(x+2)y=0

sea y=∑_(n=0)^∞▒〖c_n x^n 〗,entonces y'=∑_(n=1)^∞▒〖n c_n x^(n-1) 〗

Sustituyamos en la ecuación, esto es:

(x+1) ∑_(n=1)^∞▒〖n c_n x^(n-1) 〗–(x+2) ∑_(n=0)^∞▒〖c_n x^n 〗=0

x∑_(n=1)^∞▒〖n c_n x^(n-1)

...