Ecuaciones Diferenciales

EJERCICIOS PROPUESTOS DE DEMOSTRACIÓN

1. Verificar que la función

0

sen

,

x t

y x dt

t

  satisface a la ecuación diferencial

sen

dy

x y x x

dx

 

RESOLUCIÓN

 

0

0 0

0 0

sen

sen sen sen

' sen

sen sen

: ' sen sen

' sen

x

x x

x x

y

Sea

t

y x dt

t

t x t

y dt x dt x

t x t

t t

Entonces xy x dt x x dt x x

t t

xy xy x x Satisface a la ecuación diferencial



   

       

 

 



 

 



Rpta: xy '  xy  x sen x

2. Comprobar que la función 2

0

,

x x t x y  e  e dt  ce satisface a la ecuación diferencial

x x2 dy

y e

dx

  

RESOLUCIÓN

2

2 2 2 2

2 2 2

2

0

0 0

0 0

' .

'

'

x x t x

x x t x x x x x t x x x

x x t x x x x x t x

x x

Sea

y e e dt ce

y e e dt e e ce e e dt ce e

y y e e dt ce e e e dt ce

y y e







 

     

     

 



 

 

Rpta: 2 y ' y  exx

3. Dada la función   1

1 2

cos

, 0,

1

atdt

H a a

 t

 

  probar que H(a) satisface a la

ecuación diferencial   1    

H '' a H ' a H a 0

a

  

RESOLUCIÓN

ECUACIONES DIFERENCIALES

Por: CALIXTO CARMEN Y ARIAS RICALDI INGENIERÍA DE SISTEMAS

  1

1 2

cos

1

atdt

H a

 t



 

Cambio de variable.

t  sen

dt  cos d

      1 1

1 1

cos .cos

cos

cos

a sen d

H a a sen d

  

 

  

   

    1

1

H a sen a sen .send



  

    1 2

1

H a cos a sen .sen d



  

Entonces:

      1    2  1  

1 1

1

cos . 1 ...( )

sen a sen sen d

H a H a H a a sen sen d i

a a

  

  

 

       

Integrado por partes:

  1 2

1

cos a sen cos d

 

u  cos du  sen d

dv  cost sen cos d sena sen 

v

a





1   2   1 1  

1 1 1

cos .

cos cos

sen a sen sen a sen sen d

a sen d

a a

    

     

   

1   2 1  

1 1

cos cos ...( )

sen a sen sen d

a sen d i

a

  

  

 

 

Reemplazando (ii) en (i):

      1   1  

1

...