Ecuaciones Diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES

Introducción

Muchas de las leyes de la naturaleza, en física, química o astronomía, encuentran su expresión más natural en el lenguaje de las ecuaciones diferenciales. Son asimismo abundantes en la propia matemática, especialmente en la geometría.

Es fácil comprender la razón que se oculta tras la amplia gama de aplicaciones de las ecuaciones diferenciales. Recuerde que si es una función, su derivada se puede interpretar como la razón de cambio de con respecto a . En cualquier proceso natural, las variables involucradas y sus razones de cambio están relacionadas entre sí por medio de los principios científicos básicos que gobiernan dicho proceso. Al expresar tal conexión en el lenguaje matemático, el resultado es con frecuencia una ecuación diferencial.

El siguiente ejemplo ilustra lo anterior. Por la segunda ley de Newton, la aceleración de un cuerpo de masa es proporcional a la fuerza total , que actúa sobre él con como constante de proporcionalidad, de modo que , o sea,

(1.1)

Supongamos, por ejemplo, que un cuerpo de masa cae bajo la sola influencia de la gravedad. En tal caso la única fuerza que actúa sobre él es , donde es la aceleración de la gravedad 1.1. Si es la altura medida hacia abajo desde una cierta posición prefijada, entonces su velocidad es es la razón de cambio de su posición. Por otro lado su aceleración

es la razón de cambio de la velocidad. Con esta notación, ecuación 1.1 se convierte en

(1.2)

Si alteramos la situación, admitiendo que el aire ejerce una fuerza de resistencia proporcional a la velocidad, como se muestra en la figura 1 , la fuerza total que actúa sobre el cuerpo es

y la ecuación 1.1 se reduce a

(1.3)

Las ecuaciones diferenciales 1.2 y 1.3 expresan las características esenciales de los procesos físicos considerados.

Figura 1

¿ Qué es una ecuación diferencial ?

Definición [Ecuación Diferencial]

Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que relaciona de manera no trivial a una función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con respecto a una o más variables independientes. Si la función desconocida depende de una sola variable la ecuación diferencial se llama ordinaria , por el contrario, si depende de más de una variable, se llama parcial .

La frase de manera no trivial que hemos usado en la definición anterior tiene como propósito descartar ecuaciones diferenciales que satisfacen la definición, pero son realmente identidades, es decir, son siempre verdaderas sin importar quién sea la función desconocida. Un ejemplo de tal tipo de ecuaciones es:

Esta ecuación es satisfecha por cualquier función en una variable que sea derivable. Otro ejemplo es

Es claro que lo que está detrás de esta ecuación es la fórmula notable ; por lo que la ecuación es satisfecha por cualquier función derivable.

Nuestra atención se centrará sobre ecuaciones diferenciales ordinarias . Una ecuación diferencial ordinaria es aquella que tiene a como variable dependiente y a como variable independiente se acostumbra expresar en la forma

(1.4)

para algún entero positivo . Si podemos despejar de esta ecuación la derivada más alta, obtenemos una o más ecuaciones de orden de la forma

Ejemplo

La ecuación es equivalente a las dos ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales se clasifican en varias categorías, como ya vimos, según su tipo en ordinarias y parciales, o según su linealidad u orden, como veremos.

Definición [ Orden de una ecuación diferencial]

El orden de una ecuación diferencial es igual al de la derivada de más alto orden que aparece de manera no trivial en la ecuación.

De nuevo, la frase de manera no trivial tiene el fin de evitar situaciones como la siguiente

cuyo orden es uno y no tres, como podría pensarse.

Definición [Ecuación Diferencial lineal]

Una ecuación diferencial ordinaria de orden es lineal si se puede escribir de la forma

(1.5)

donde los coeficientes para son funciones reales, con . Una ecuación diferencial ordinaria que no se pueda expresar de esta forma es no lineal.

Algunas veces decimos que la ecuación 1.5 es lineal con coeficientes constantes si las funciones son constantes para toda , en caso contrario, decimos que es con coeficientes variables. Por otro lado, si la función es nula decimos que la ecuación diferencial ordinaria lineal es homogénea y en caso contrario no homogénea. Todos estos tipo se ecuaciones diferenciales serán estudiados posteriormente con más detalle.

Ejemplo

La ecuación diferencial

es de primer orden, no lineal y no homogénea. Esta ecuación surge en sicología y representa un modelo del aprendizaje. La variable representa el nivel de habilidad del individuo como una función del tiempo . Las constantes y dependen del individuo considerado y de la naturaleza de la tarea que se este aprendiendo.

Ejemplo

La ecuación

es de segundo orden, lineal con coeficientes constantes y no homogénea. Esta ecuación diferencial surge en el estudio de circuitos eléctricos que consisten de un inductor , un resistor y un capacitor , al cual se aplica una fuerza electromotriz .

Ejemplo

La ecuación

es de orden 3, lineal con coeficientes constantes y homogénea.

La ecuación

es de primer orden, no lineal y no homogénea.

La ecuación

es de segundo orden, lineal con coeficientes variables y no homogénea.

El concepto de orden también se extiende a las ecuaciones parciales como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo

La ecuación

se conoce como la ecuación de calor y es de primer orden en y de segundo orden en .

La ecuación

se conoce como la ecuación de Laplace y es de segundo orden en e .

La ecuación

se conoce como la ecuación de onda y segundo orden en , y .

Las ecuaciones de Laplace, de calor y de onda poseen un importante significado en física teórica y su estudio ha estimulado el desarrollo de muchas ideas matemáticas relevantes. En general, las ecuaciones diferenciales parciales aparecen en problemas relacionados con campos eléctricos, dinámica de fluidos, difusión y movimiento ondulatorio. Su teoría es muy diferente de la de las ecuaciones diferenciales ordinarias y notablemente más difícil en casi todas sus facetas.

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Subsecciones

• Ejercicios

Ejercicios

A continuación se presenta una lista de algunas ecuaciones diferenciales, junto con el campo o área en la cual surgen. Clasifique cada una de ellas como ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales, lineal o no lineal, proporcione el orden e indique las variables independientes y las dependientes.

1. (Vibración mecánica, circuitos eléctricos y sismología)

2. (flujo de un líquido que sale a través de un recipiente)

3. (problema de braquistocrona, cálculo de variaciones)

4. (Deflexion de vigas)

5. (Fisión nuclear)

6. (curva logística, epidemiología y economía)

7. (aerodinámica y análisis de esfuerzos)

8. (conductividad térmica)

9. (Ecuación de Poisson)

Solución de una ecuación diferencial

Definición [ Solucion de una ecuación diferencial]

Decimos que es una solución de la ecuación diferencial 1.4, en el intervalo si

para toda . Es decir, una solución, es una función definida en algún intervalo que al sustituirla en la ecuación la transforma en una identidad para todo .

Ejemplo

La función es solución de la ecuación diferencial ordinaria para toda .

Derivando la función obtenemos que

Ejemplo

La función es solución de la ecuación diferencial para toda .

Derivando la función y sustituyendo obtenemos que

Ejemplo

La función es solución de la ecuación diferencial parcial

en todo .

Calculando las derivadas parciales

Al sustituir obtenemos una igualdad

Recuerde que no toda ecuación diferencial que se nos ocurra tiene solución, por ejemplo, para la ecuación diferencial

no existe una función real derivable que la satisfaga, pues el

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