Ecuaciones Diferenciales

ACTIVIDAD 1

Los materiales radioactivos, es un tema que preocupa a la sociedad, debido a sus posibles consecuencias dañinas para la vida (humana, vegetal y animal). Estos materiales de caracterizan por presentar en su composición elementos químicos que no son estables, pues sus núcleos emiten partículas o energía electromagnéticas.

Consideremos el caso del Iodo-a131, utilizado en el examen de tiroides cuya vida media es de 8 días. Esto significa que el número de núcleos inestables, capaces de emitir partículas o radiaciones descenderá a la mitad en 8 días y nuevamente volverá a la mitad después de 8 días y así sucesivamente. Considerando en el instante inicial existían N = 1000000 de átomos radioactivos o se construyó una planilla electrónica acerca de este fenómeno tal como se indica.

TABLA 1: Número de átomos radioactivos para

Diferentes valores de tiempo, medidos en días

t días N

0 1000000

8 500000

16 250000

24 125000

32 62500

40 31250

48 15625

56 7813

64 3906

72 1953

80 977

88 488

96 244

104 122

Hallando la ecuación diferencial:

-dN=N(t)*k*dt

-∫_No^N▒dN/N=k ∫_0^t▒dt

-(ln⁡〖N-ln⁡〖No)=k t〗 〗

ln(N/No)=-kt

N=No e^(-kt)

Hallando la constante:

No = 1000000 - N_8 = 500000

t_o = 0 - t=24 días

〖10〗^6=500000*e^(-k*24)

k=0.08664 〖días〗^(-1)

De acuerdo a esta planilla electrónica responder a las siguientes preguntas.

1. ¿Cuántos átomos radiactivos tiene al final de 64 días?

N=〖10〗^6 e^(-0.08664*64)

N=〖10〗^6* 〖3.907*10〗^(-3)

N= 3906

2. ¿Cuántos días demorará para que haya un aproximado de 100 átomos radioactivos?

100=〖10〗^6 e^(-0.08664*t)

〖10〗^(-4)= e^(-0.08664*t)

t = 106 días

3. Realice una gráfica del número de átomos de Iodo I-131 en función del tiempo medido en días

4. ¿Es correcto afirmar que el número de átomos radioactivos que decaen por día es constante? (Decir que un átomo radioactivo decae significa que el átomo se trasmuta en otro, debido a que emite partículas o radiaciones de ser radiactivo).

T = 31 días

N=〖10〗^6 e^(-0.08664*31)

N = 68163.912

T= 32 días

N= 62500

T=33 días

N=〖10〗^6 e^(-0.08664*33)

N=57319.179

∆T_(31-32)= 5663.921

∆T_(32-33)= 5180.821

En conclusión, el número de átomos radiactivos que decae por día no es constante.

5. Suponga que el examen clínico es realizado con un elemento químico cuya media vida fuese de 4 días y que el número inicial de átomos radioactivos fuese el mismo 1 000 000. Realice una gráfica del número de átomos radioactivos de este elemento químico en función del tiempo, medido en días:

6. Realice las gráficas de los casos mencionados en un solo plano:

ACTIVIDAD 2

En esta actividad usted trabajará con la misma tabla de la actividad 1, haciendo lo siguiente:

Haga una tercera columna y represéntela como ∆M/∆T, que viene a ser la razón de las diferencias entre los valores de las dos primeras columnas.

t días N ΔM/ΔT

0 1000000 62500

8 500000 31250

16 250000 15625

24 125000 7812.5

32 62500 3906.25

40 31250 1953.125

48 15625 976.5

56 7813 488.375

64 3906 244.125

72 1953 122

80 977 61.125

88 488 30.5

96 244 15.25

104 122

Luego haga una cuarta columna e indíquela por medio de ΔM/ΔT/M, usted puede cambiar el valor de ΔT atribuido a o como juzgue necesario, para observar que cualquiera que sea el valor atribuido a ΔT el valor obtenido en la cuarta columna es constante.

t días N ΔM/ΔT ΔM/ΔT/M

0 1000000 62500 0.0625

8 500000 31250 0.0625

16 250000 15625 0.0625

24 125000 7812.5 0.0625

32 62500 3906.25 0.0625

40 31250 1953.125 0.0625

48 15625 976.5 0.062496

56 7813 488.375 0.062508

64 3906 244.125 0.0625

72 1953 122 0.062468

80 977 61.125 0.06256397

88 488 30.5 0.0625

96 244 15.25 0.0625

104 122 0

1. Cambie el valor de ∆t para ∆t=1; ∆t=0,5; ∆t=0,1 y finalmente para ∆t=0,01. Verifique que la cuarta columna converge para un cierto valor que designaremos por k. Entonces ¿Cuál es el valor de k? ¿Tiene k unidad de medida?

Lo que usted ha encontrado es la constante de Decaimiento Radiactivo.

Esto es, escribiendo en forma de ecuación todo lo que se ha hecho llegamos al siguiente resultado.

lim┬(∆t→0)⁡〖(∆M/∆t)〗/M=k o dM/dt=kM

2. En la parte 1, usted debe haber llegado a determinar que la constante de decaimiento de radioactividad k= 0,0866/día. Al resolver la actividad 1, probablemente usted a observado que la forma de la curva de decaimiento parece ser la de un exponencial decreciente.

Entonces asumamos que una solución pueda ser:

M=M_0 e^(-KT)

Desde MO es la cantidad inicial de átomos radiactivos considerados.

3. Construya la quinta columna de la tabla dada en la actividad 1, columna donde deben ir los valores de función exponencial dada en la fórmula 2, comparando los valores obtenidos con los de la columna 2 usted observa que la ecuación 2 describe muy bien este decaimiento radioactivo, pareciendo ser la solución del problema 2 de la ecuación 1 .

t días N ΔM/ΔT ΔM/ΔT/M e^(-kt)

0 1000000 62500 0.0625 1

8 500000 31250 0.0625 0.50020955

16 250000 15625 0.0625 0.25020959

24 125000 7812.5 0.0625 0.12515722

32 62500 3906.25 0.0625 0.06260484

40 31250 1953.125 0.0625 0.03131554

48 15625 976.5 0.062496 0.01566433

56 7813 488.375 0.062508 0.00783545

64 3906 244.125 0.0625 0.00391937

72 1953 122 0.062468 0.0019605

80 977 61.125 0.06256397 0.00098066

88 488 30.5 0.0625 0.00049054

96 244 15.25 0.0625 0.00025437

104 122 0 0.00012274

4. Sabiendo

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