Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden

Las EDO de primer orden tienen muchas aplicaciones en las Ciencias y la Tecnología. Mucho trabajo se ha hecho en buscar métodos para su solución. Para el estudio de estos métodos agruparemos este tipo de ecuaciones, de acuerdo a las características de la ecuación de la forma siguiente:

EDO en variables separables

EDO homogéneas

EDO exactas

EDO que se resuelven con un factor integrante

EDO lineales de primer orden

Hay otras EDO y métodos de solución (por ejemplo la reducción del orden en ecuaciones de segundo orden), que pueden tener importancia en algunas aplicaciones, pero quedan fuera del alcance de este curso. Se recomienda estudiar las mismas en los textos de que disponen en la biblioteca y los materiales existentes en Internet. Igualmente hay métodos numéricos para resolver EDO, pero serán vistos en la UT VII.

Es importante que adquieran el hábito de comprobar los resultados. Esto lo harán hallando las correspondientes derivadas del resultado para introducirlas en la ecuación diferencial de partida. Si todo está bien hecho, deben obtener una identidad.

EDO en variables separables

Las ecuaciones diferenciales en variables separables son aquellas que, después de manipulaciones algebraicas, se pueden escribir en la forma:

Y hemos obtenido la solución general.

Otro ejemplo:

Estudio independiente

Revisar teoría y ejercicios del curso del ITCR.

Revisar los ejercicios de la tarea 2 del curso de ecuaciones diferenciales del ITESM.

EDO homogéneas

Veamos más detalladamente lo que es una ecuación diferencial homogénea.

Se dice que una función ƒ(x, y) es homogénea de grado "n" si se verifica que f( tx, ty)= tnf( x, y), siendo "n" un número real. En muchos casos se puede identificar el grado de homogeneidad de la función, analizando el grado de cada término.

Por ejemplo: x2y+18x3 = 0 es una función homogénea de grado 3.

Asimismo, se dice que una ecuación G(x,y) es homogénea si al hacer el cambio: x = tx, y = ty se obtiene tnG(x,y). En tal caso la ecuación es homogénea de grado n.

Lo anterior es válido para las ecuaciones diferenciales que, siendo escritas en la forma P(x,y)dx+Q(x,y)dy = 0, se cumple que P(x,y) y Q(x,y) son homogéneas del mismo grado.

Estas ecuaciones se resuelven haciendo el cambio de variable y = ux.

Primero se separa la ecuación de manera que podamos escribir

Resolviendo y sustituyendo u por y/x se obtiene la solución.

...