Ecuaciones Diferenciales

“ECUACIONES DIFERENCIALES DE ENESIMO ORDEN”

COEFICIENTES INDETERMINADOS:

Para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea:

any(n) + an-1y(n-1) + …..+ a1y´ + a0y = g(x)

Se deben hacer dos cosas:

Encontrar la función complementaria YG.

Encontrar alguna solución particular YP de la ecuación no homogénea.

La primera de las dos formas que se consideran para obtener una solución particular YP de una ecuación diferencial lineal no homogénea se llama método de coeficientes indeterminados. Ahora presentaremos la ejecución del método de los coeficientes indeterminados a la solución general y a la solución particular de una ecuación de enésimo orden.

SOLUCIÓN GENERAL:

Para resolver la parte general de la ecuación diferencial se sustituye “y´´ por m”, esto se lo hace sucesivamente hasta que quede un polinomio en el cual al momento de resolver puedan quedar las raíces correspondientes las cuales se sustituyen relacionando con las siguientes formulas:

YG = C1emx + C2em2x, cuando estos son raíces reales diferentes.

YG = C1emx + XC2em2x, cuando estos son raíces reales iguales.

YG = eαx(C1Senβx + C2Cosβx), cuando son raíces imaginarias.

SOLUCION PARTICULAR:

Para la solución particular la cual viene a ser la parte derecha de la ecuación diferencial, la que puede ser:

Función polinómica.

Función trigonométrica.

Función exponencial.

Se procede a tomar en cuenta la siguiente tabla de valores particulares:

Nota: la tabla mencionada anteriormente no es de gran fiabilidad, así que para determinar la solución particular de una ED hay que aplicar lo aprendido en clase analizando el caso que le corresponda.

SOLUCIÓN TOTAL:

La solución total se forma uniendo la solución general con la particular:

YT = YG + YP

VARIACIÓN DEL PARÁMETRO (WRONSKIANO).

El método de Wronskiano o variación del parámetro es aplicable también para una ecuación diferencial de orden superior; la formula que se plantea es la siguiente:

y´´ +P(x)y´ + Q(x)y = f(x),

En donde f(x) puede ser:

F(x) = P(x)ex

F(x) = P(x)ex(Senβx

Una vez planteada la ecuación diferencial en su forma estándar, se forma la ecuación para la solución particular con f(x) (Yp = U(x)Y(x)), para que después esta se derive y nos quede el valor de la derivada de la ED particular, realizando el proceso mencionado que da de la siguiente manera:

YP = U´1(x)Y1(x) + U´2(x)Y2(x)

YP = U´1(x)Y´1(x) + U´2(x)Y´2(x)

En donde “Y1 y Y2” pertenecen a la ecuación homogénea.

Al momento de resolver el ejercicio, lo que se procede a hacer es encontrar la ecuación homogénea, y luego de ahí sacamos los valores de “Y1 y Y2”, luego para encontrar U1 y U2 lo que se hace es sacar la determinante de cada una y luego integrar la respuesta final, después se une la solución particular con la general, y obtenemos la solución total de la ED.

Nota: el Wronskiano es el que divide a U, así que también hay que sacarle la determinante de este.

CAUCHY – EULER:

La forma de la ED por el método de CAUCHY – EULER, es el siguiente:

anxndny/dxn + an-1xn-1(dn-1y)/(dxn-1) +…….+ a1xdy/dx + a0y = g(x)

Se prueba una solución de la forma Y = Xm, en donde m es un valor que se debe determinar. Además lo que varía también en este método es que en lugar de poner como constante emx, se pone xm1, quedando de la siguiente manera:

Hay tres casos distintos a considerar que dependen de si las raíces de esta ecuación cuadrática son reales y distintas, reales e iguales o complejas. En el último caso las raíces aparecen como un par conjugado.

CASO 1: RAICES REALES Y DISTINTAS:

Sean m1 y m2 las raíces reales de (1), tales que m1 ≠ m2. Entonces Y1 = Xm1, y Y2 = Xm2 forman un conjunto fundamental de soluciones. Por lo tanto la solución general es:

Y = C1Xm1 + C2Xm2

CASO 2: RAICES REALES REPETIDAS:

Si las raíces de (l) son repetidas (es decir m1 = m2), entonces se obtiene una solución particular, Y = Xm1. Cuando las raíces de la ecuación cuadrática am2 + (b- a)m + c = 0 son iguales, el discriminante de los coeficientes necesariamente es igual a cero. De la formula cuadrática se deduce que las raíces deben ser: m1 = -(b – a)/2a. Una vez realizado todos estos procedimientos lo que queda al final es la solución general que es:

Y = C1Xm1 + C2Xm2ln x

CASO 3: RAICES COMPLEJAS CONJUGADAS:

Si las raíces de (l) son el par conjugado m1 = α + iβ, m2 = α – iβ, donde α y β > 0 son reales, entonces una solución es:

Y =C1Xα+iβ + C2Xαα-iβ

Pero cuando las raíces de la ecuación auxiliar son complejas, como el caso de las ecuaciones

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