Ecuaciones Diferenciales

INTRODUCCIÓN

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones.

Estas ecuaciones aparecen naturalmente al modelar situaciones físicas en las ciencias naturales, ingeniería, y otras disciplinas, donde hay envueltas razones de cambio de una ó varias funciones desconocidas con respecto a una ó varias variables independientes.

Las ecuaciones en derivadas parciales son aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.

DESARROLLO

Las ecuaciones diferenciales se clasifican por su:

• Orden: Pueden ser elípticas, parabólicas, hiperbólicas y de orden superior.

• Grado: Cuando nuestra función sea 1 polinomio se define el grado de y(x) y sus derivadas.

• Se dice que es lineal nuestra ecuación cuando se encuentra así:

El Método de Diferencias Finitas es un método de carácter general que permite la resolución aproximada de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales definidas en recintos finitos. Como resultado de la aproximación, la ecuación diferencial parcial que describe el problema es reemplazada por un número finito de ecuaciones algebraicas, en términos de los valores de la variable dependiente en puntos seleccionados.

El valor de los puntos seleccionados se convierten en las incógnitas. El sistema de ecuaciones algebraicas debe ser resuelto y puede llevar un número largo de operaciones aritméticas.

Aunque este método es algo sencillo debido a que constituye un procedimiento muy adecuado para la resolución de las ecuaciones. Utilizando unas tipo mallas para la realización de los cálculos.

Para darle solución a nuestras ecuaciones parciales existen 3 métodos como lo son:

La solución general que nos habla de una solución dependiente de una función parcial.

En cambio la solución completa contiene varias constantes independientes o dependientes que intervienen en una ecuación, por ejemplo en la integración; este método es el más utilizado.

Y por último está el método de Laplace que regularmente se emplea en ecuaciones cuando tienen derivadas con respecto al tiempo.

APLICACIONES

Las ecuaciones diferenciales parciales son muy utilizadas en todas las ramas de la Ingeniería para el modelamiento de los fenómenos físicos.

La ecuación del va conducción de calor puede ser un ejemplo. La constante C es igual a 1 donde la conductividad térmica k, el calor específico, la densidad se toman como constantes.

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