TC 3 Ecuaciones Diferenciales

DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES

Hallar el radio de convergencia de las siguientes series:

an+1 = (x-3)ᶯ+1 . n ³

an (n+1)³ (x-3) ᶯ

(x-3) ᶯ(x-3)¹ . n ³ = (x-3)n ³ = /x-3/

(n+1) ³ (x-3) ᶯ (n+1) ³

Entonces:

-1<x-3<1

2<x<4

[2,4]

an+1 = (-1)ᶯ+1. X ᶯ+1 . n = -Xn = /X/

an n+1 (-1) ᶯ . x ᶯ (n+1)

Entonces:

-1<x<1

R=1

Mediante series de potencias resolver la ecuación diferencial y escríbala en forma de serie

Serie:

y = Σº cnX ᶯ = C1X+C2X²+C3X³+...

n=1

Primera derivada:

y'= Σº ncnX ᶯ-1 = C1+2C2X+3C3X²+...

n=1

Sustituyendo:

(C1+2C2X+3C3X²+...)+(C1X+C2X²+C3X³+...)=0

Se agrupan potencias de X:

( C1 + C1X) + ( 2C2+ C2X)X + ( 3C3+ C3X)X² + ...=0

Iguala a 0 los coeficientes:

( C1 + C1X)=0 ( 2C2+ C2X) =0 ( 3C3+ C3X) =0

C1 =-C1X C2 =-C1X C3 =-C1X

2! 3!

Ecuación y=C1X+C2X²+C3X³+... :

y= (-C1X)X+-C1X(X²)+-C1X(X³)+...

2! 3!

Despejamos C1:

y=C1(-X²-X³ - Xᶣ +...)

2! 3!

Mediante series de potencias resolver la ecuación diferencial y escríbala en forma de serie:

(x+1) y^'-(x+2)y=0

sea y=∑_(n=0)^∞▒〖c_n x^n 〗,entonces y'=∑_(n=1)^∞▒〖n c_n x^(n-1) 〗

Sustituyamos en la ecuación, esto es:

(x+1) ∑_(n=1)^∞▒〖n c_n x^(n-1) 〗–(x+2) ∑_(n=0)^∞▒〖c_n x^n 〗=0

x∑_(n=1)^∞▒〖n c_n x^(n-1) 〗+∑_(n=1)^∞▒〖n c_n x^(n-1) 〗–x∑_(n=0)^∞▒〖c_n x^n 〗-2∑_(n=0)^∞▒〖c_n x^n 〗=0

∑_(n=1)^∞▒〖n c_n x^n 〗+∑_(n=1)^∞▒〖n c_n x^(n-1) 〗–∑_(n=0)^∞▒〖c_n x^(n+1) 〗-2∑_(n=0)^∞▒〖c_n x^n 〗=0

∑_(n=1)^∞▒〖n c_n x^n 〗+∑_(n=0)^∞▒〖(n+1) c_(n+1) x^n 〗–∑_(n=1)^∞▒〖c_(n-1) x^n 〗-2∑_(n=0)^∞▒〖c_n x^n 〗=0

∑_(n=1)^∞▒〖n c_n x^n 〗+c_1+∑_(n=1)^∞▒〖(n+1) c_(n+1) x^n 〗–∑_(n=1)^∞▒〖c_(n-1) x^n 〗-2c_0-2∑_(n=1)^∞▒〖c_n x^n 〗=0

∑_(n=1)^∞▒〖n c_n x^n 〗+∑_(n=1)^∞▒〖(n+1) c_(n+1) x^n 〗–∑_(n=1)^∞▒〖c_(n-1) x^n

...