TRABAJO COLABORATIVO 3 Ecuaciones Diferenciales

TRABAJO COLABORATIVO 3

Ecuaciones Diferenciales

IVÁN DARÍO CASTAÑO CONDE

Código:15447329

Grupo:

Tutor:

Ricardo Gómez

Licenciado Matemático

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD)

FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

CEAD- MEDELLIN

Mayo, de 2012

2. Mediante series de potencias resolver la ecuación diferencial y escríbala en forma de serie

Solución

Todos los puntos de Xo son ordinarios, tomamos:

y=∑_(n=0)^∞▒〖Cnx^n 〗 ó y=C_0+C_1 X+C_2 X^2+C_3 X^3…

y^,=∑_(n=1)^∞▒〖nCnx^(n-1) 〗 ó 〖 y〗^,=〖0+C〗_1+〖2C〗_2 X+〖3C〗_3 X^2+⋯

Reemplazamos:

∑_(n=1)^∞▒〖nCnx^(n-1) 〗+∑_(n=0)^∞▒〖Cnx^n 〗=0,como las ¨x¨ arrancan con las mismas potencias

Hacemos K=n-1 K=n

∑_(K=0)^∞▒〖(K+1)C_(K+1) 〗 X^K+∑_(K=0)^∞▒C_K X^K=0

Factorizamos X^K

∑_(K=0)^∞▒〖[(K+1)C_(K+1) 〖+C〗_K ] X^K 〗=0 como X^K≠0 ∀ K≥0

Entonces:(k+1)C_(K+1)+C_K=0 y C_(K+1)=(-C_K)/(K+1) fórmula recurrente

Como K comienza en cero

K=0 C_1=(-C_0)/1

K=1 C_2=(-C_1)/2 →C_2=(-(-C_0))/2→C_2=C_0/2

K=2 C_3=(-C_2)/3 →C_3=(-(C_0/2))/( 3)→C_3=〖-C〗_0/( 6)

K=3 C_4=(-C_3)/( 4) →C_4=(-(-C_0/6))/( 4)→C_4=〖-C〗_0/( 24)

K=4 C_5=(-C_4)/( 5) →C_5=(-C_0/24)/( 5)→C_5=-C_0/120

Observamos la sucesión de coeficiente:

C_0,C_0/2,- C_0/6,C_0/24,-C_0/120

((-1)^n C_0)/n!

Ahora consideramos

y=∑_(n=0)^∞▒〖Cnx^n 〗=C_0+C_1 X+C_2 X^2+C_3 X^3+C_4 X^4+C_5 X^5+⋯.

Reemplazamos los coeficientes:

y=C_0-C_0 X+C_0/2 X^2-C_0/6 X^3+C_0/24 X^4-C_0/24 X^5+….

Solución: → y=

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