Ecuaciones Diferenciales Unidad 3

Unidad 3 transformada de Laplace

Transformada de Laplace de una función periódica

Se dice que una función f(t) es una función periódica de período a> 0 si,

Esto significa que la gráfica de tal función a repetirá su forma para cada intervalo (na, (n + 1)a). Un ejemplo de tal función es el seno ( ),el cual es una función periódica del período 2 . El valor de la función debe convertirse en cero en la porción negativa de la recta numérica real.

Si f(t) es una función periódica con período a entonces,

Esto puede reorganizarse como,

En términos simples, podemos decir que para la función periódica f(t) con período a, la transformada de Laplace es equivalente a la transformada de Laplace en un período único de esafunción dividida por el término (1 - e-as).

También existe una prueba del teorema indicado arriba. Dado que f(t) es una función periódica con período a,

f(t + a) = f(t), f(t + 2a) = f(t) y así sucesivamente.

Ahora, L{f(t)} = e-st f(t) dt

= e-stf(t) dt + e-st f(t) dt + e-st f(t) dt + …

Estableciendo t = (u + a) en la segunda integral, t = (u + 2a) en el tercer integral etc. Entonces obtenemos:

= e-stf(t) dt + e-s(u + a) f(u + a) du + e-s(u + 2a) f(u + 2a) du + …

= e-suf(u) du + e-su f(u + a) du + e-2sa e-su f(u) du + …

= (1 + e-as + e-2as+ …) e-su f(u) du

= (1 - e-as)−1 e-stf(t) dt [Dado que 1 + x + x2 + … = (1 – x)−1]

L{f(t)} = [1/ (1 - e-as)] e-st f(t) dt

Por consiguiente, podemos ver que para llevar a cabo la operación de transformación de Laplace a una función periódica necesitamos romper esa función en los sub-intervalos, lo cual depende de los intervalos para los cuales la función dada estádefinida. La sumatoria de todas las integrales produce la transformada de Laplace para esa función. Sin embargo, es posible aplicar directamente el teorema discutido anteriormentecon propósitos de conveniencia para la solución de problemas. Se provee un ejemplo ilustrando el uso de este teorema para hacer más claro los conceptos.

Muestra que si f(t + a) = -f(t), entonces:

L{f(t)} = [1/ (1 + e-as)] e-st f(t) dt

Dado quef(t + 2a) = f[(t + a) + a)] = -f(t + a)

= -[-f(t)]

= f(t)

La función f(t) dada es una función periódica con período 2a.

Ahora, utilizando el teorema para la transformada de Laplace de funciones periódicas con el período areemplazado por 2a tenemos que:

L{f(t)} = [1/ (1 - e-2as)] e-st f(t) dt

= [1/ (1 - e-2as)] [ e-stf(t) dt + e-st f(t) dt]

Estableciendo t = (u + a) en la segunda integral, tenemos que:

L{f(t)} = [1/ (1 - e-2as)] [ e-st f(t) dt + e-s(u + a) f(u + a) du]

= [1/ (1 - e-2as)] [ e-stf(t) dt – e-as e-su f(u) du]

= [(1 - e-as)/ (1 - e-2as)] e-stf(t) dt

L{f(t)} = [1/ (1 + e-as)] e-st f(t) dt

3.1 TEORIA PRELIMINAR

3..1.1 DEFINICION DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Definición de las transformadas de Laplace

Las transformadas de Laplace fueron formuladas para transformar una ecuación diferencial que contiene las diferenciales de una función indefinida, a partir de una ecuación t-espaciada hacia una ecuación s-espaciada que puede ser resuelta con mucha facilidad. También pueden ser utilizadas para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales. Están dirigidas a una amplia gama de problemas de valor inicial.

La transformada de Laplace se denomina a veces transformada operacional; esto esporque transforma las operaciones de integración en simples operaciones algebraicas que son mucho más convenientes de resolver. Después de la cual la aplicación de la técnica de la transformada inversa produce la solución exacta para la ecuación diferencial dada. El procedimiento completo puede demostrarse como,

Matemáticamente, la transformada de Laplace puede definirse como: “Para una función dada f(t), la transformada de Laplace se define como la integración de los productos de esa función con el núcleo de la transformación cuyos límites de integración son[0, )”.

Aquí, el kernel de la transformada es e-st, donde t es el parámetro de entrada de la función valorada real y s es el parámetro de la función compleja nueva, la cual es el resultado de la transformada de Laplace. La función de entrada se define en el intervalo cerrado [0, ). La notación convencional de la transformada de Laplace es L{f(t)} o F(s).

Existen dos pre-requisitos que deben cumplirse con el fin de tener una transformada de Laplace de la función de entrada. Estos son:

1. La entrada de la función valorada real debe ser una función a trozos que esté continuamente definida por el intervalo cerrado [0, ).

2. A medida que el valor de t se aproxima a cero, la función debe alcanzar el orden exponencial. En términos simples, debe existir una constante de tres términosa, K, t donde,

Sin embargo, estos dos pre-requisitos no son condiciones necesarias sino suficientes.

Una transformada de Laplace puede considerarse como un superconjunto de la representación Fasor, ya que se compone de una parte real y una parte compleja. La parte real de la transformada de Laplace se utiliza para representar la parte transitoria, mientras que la parte compleja se utiliza para representar la respuesta de la posición estática. Sin embargo, también es posible utilizarla para modelar la tasa de variación de algún sistema.

A continuación se mencionan los pasos para aplicar la transformada de Laplace:

1. El primer paso es transformar el dominio de la ecuación diferencial dada. Esto se hace mediante la sustitución de d/ dt con s, el cual es el parámetro de la ecuación transformada.

2. Ahora, haciendo uso de la tabla Laplace transforma la función de entrada en el dominio de s.

3. Haz uso de los métodos algebraicos para combinar la función de transferencia con la función de entrada con el fin de determinar la función de salida.

4. Factoriza la función de salida con la ayuda de la técnica de fracciones parciales.

5. Ahora usa la transformada inversa y transforma el dominio de la solución de nuevo al dominio t.

Demos un vistazo a un ejemplo ilustrativo para entender claramente el concepto:

q’ - 6q’ + 15q = 2sin (3t) given y(0) = −1 y’(0) = −4

s2Y(s) – sy(0) – y’(0) −6(sY(s) –y(0)) +15Y(s) = 2[3/ s2 + 9]

Y(s) = [-s3 +2s2 −9s + 24]/ [(s2 + 9) (s2 −6s + 15)]

Y(s) = [As + B]/ [(s2 + 9)] + [Cs + D]/ [(s2 −6s + 15)]

-s3 +2s2 −9s + 24 = (As + B)(s2 −6s + 15) + (Cs + D)[(s2 + 9)

= (A + C)s3 + (−6A + B + D)s2 + (15A – 6B + 9C)s + 15B + 9D

A = 1/10

B = 1/10

...