Ecuaciones diferenciales FASE 3 COLABORATIVA

ACTIVIDAD COLABORATIVA TRES

PARTICIPANTES

GRUPO NO. (100412A_291)

TUTOR:

JADITH ROVIRA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

(MEDELLÍN)

29 DE NOVIEMBRE DE 2016

TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCION        3

OBJETIVOS        4

OBJETIVO GENERAL        4

OBJETIVOS ESPECÍFICOS        4

EJERCICIO NÚMERO 1        5

Solución:        6

EJERCICIO NÚMERO 2        7

Solución:        7

Solución 1:        10

Solución 2:        11

EJERCICIO NÚMERO 3        15

Solucion        15

EJERCICIO NÚMERO 4        18

EJERCICIO NÚMERO 5        21

SOLUCION        21

EJERCICIO NÚMERO 6        22

EJERCICIO NÚMERO 7        22

Solucion:        22

EJERCICIO NÚMERO 8        23

EJERCICIO NÚMERO 9        23

SOLUCION        23

EJERCICIO NÚMERO 10        24

Solución        24

PROBLEMA COLABOTATIVO UNO        26

DESARROLLO PUNTO        27

PROBLEMA COLABOTATIVO DOS        32

DESARROLLO DEL PUNTO        33

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS        37

INTRODUCCION

Con el desarrollo del siguiente trabajo colaborativo, estamos dejando evidencia de lo realizado por el grupo colaborativo para encontrar los resultados de la guía propuesta para el trabajo colaborativo tres, de la materia de ecuaciones diferenciales, se desarrolla diez ejercicios tipo ECAES , y la resolución de dos problemas colaborativos de aplicación.  

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL  

• Desarrollar diferentes problemas aplicando series de Taylor – Series de potencias, en el área de ecuaciones diferenciales, para aprobar el trabajo colaborativo número tres del segundo semestre de 2016 con la UNAD.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

• Determinar soluciones a ejercicios tipo ECAES, seleccionando una única respuesta.
• Resolver problemas asociados con la vida real, aplicando series de potencias, en áreas como la física.
• Destacar la importancia de la resolución de trabajos colaborativos en el desarrollo del aprendizaje colectivo para lograr un objetivo en común.

EJERCICIO NÚMERO 1

Un método alternativo para hallar soluciones con series de potencias de ecuaciones diferenciales como: , alrededor de un punto ordinario x = 0 es el método de la serie de Taylor. Este método usa los valores de las derivadas evaluadas en el punto ordinario, los cuales se obtienen de la ecuación diferencial por diferenciación sucesiva. Cuando se encuentran las derivadas, usamos luego la expansión en serie de Taylor[pic 1]

[pic 2]

Dando la solución requerida. Considerando lo anterior, la solución para la ecuación
 es:[pic 3]

1. [pic 4]
2. [pic 5]
3. [pic 6]
4. [pic 7]

RESPUESTA A

Solución:

,[pic 8]

 [pic 9]

.a=2

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

EJERCICIO NÚMERO 2

Al emplear el método de series de potencia, la solución del problema de valor inicial de la ecuación dada.

𝑦̈−2𝑥𝑦̇+8𝑦=0;

𝑐𝑜𝑛 (0)=3,

𝑦̇(0)=0

Es:

Solución:

Se trata de una ecuación diferencial lineal

Consideramos la solución en forma de series infinitas, Derivamos,

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

Reemplazamos las expresiones en la ecuación diferencial, así tenemos que:

[pic 23]

Donde las propiedades de la potencia nos da: [pic 24]

[pic 25]

Reescribimos como una sola serie de potencias, para cada una de las sumatorias, según su n, como son tres según el orden quedarían:

      [pic 26][pic 27][pic 28]

      [pic 29][pic 30][pic 31]

      [pic 32][pic 33][pic 34]

Reemplazamos los valores de n por k, Así:

[pic 35]

[pic 36]

Escribir como una sola sumatoria, haciendo que las tres sumatorias inicien sobre un mismo índice (uno). Para esto, (sacamos el primer término para la sumatoria uno y la tres)

[pic 37]

Obteniendo así:

Recordar una potencia ala cero es igual a uno donde  y todo número multiplicado por uno da el mismo número:[pic 38]

[pic 39]

Tenemos las 3 sumatorias iniciando en uno, ahora podemos escribirlas como una sola sumatoria:

[pic 40]

Podemos factor izar [pic 41]

[pic 42]

[pic 43]

Tenemos que debe ser = 0

   🡪      Dado que    [pic 44][pic 45][pic 46]

[pic 47]

Despejamos al constante que tenga mayor índice [pic 48]

[pic 49]

[pic 50]

             Factor común[pic 51]

                           k=1,2,….[pic 52]

Solución 1: general a partir de dos soluciones generalmente dependientes:

[pic 53]

Si elegimos    y   [pic 54][pic 55]

[pic 56]

...