ECUACIONES DIFERENCIALES FASE CINCO

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: John Jairo Carvajal Taquinas

1. Teniendo en cuenta lo anterior, ¿para qué valores de  converge la serie de potencias?[pic 2]

[pic 3]

1. La serie converge  para   lo que equivale a  2[pic 4][pic 5]
2. La serie converge absolutamente para   lo que equivale a  [pic 6][pic 7]
3. No se puede determinar la convergencia
4. La serie converge absolutamente para   lo que equivale a  -[pic 8][pic 9]

PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

 [pic 10][pic 11]

[pic 12]

Calcular:

[pic 13]

Usar el criterio de la razón para calcular el intervalo de convergencia.

Criterio de la razón:

Si existe una N tal que para toda ,  y [pic 14][pic 15][pic 16]

Si , entonces .[pic 17][pic 18]

Si , entonces .[pic 19][pic 20]

Si , entonces el criterio es poco concluyente.[pic 21]

1.. [pic 22]

[pic 23]

2.. [pic 24]

[pic 25]

Primero simplificamos aplicando las leyes de los exponentes

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

Reemplazamos en la principal

Ahora [pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

 Es positivo cuando . Por lo tanto [pic 32][pic 33][pic 34]

Se divide entre el denominador con mayor potencia, ósea dividido entre n

Tenemos [pic 35]

Entonces

[pic 36]

[pic 37]

Simplificando queda

[pic 38]

Aplicamos propiedad

[pic 39]

[pic 40]

Al aplicar las propiedades para limites infinitos/en el infinito

[pic 41]

[pic 42]

[pic 43]

Reemplazando valores en [pic 44]

Sumamos 2 a ambos lados

Entonces [pic 45]

[pic 46]

[pic 47]

Entonces [pic 48]

[pic 49]

[pic 50]

Ya conociendo el resultado del  aplicamos los criterios.[pic 51]

La suma converge para , por lo tanto, tenemos [pic 52][pic 53]

[pic 54]

[pic 55]

Al combinar los rangos tenemos:

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:  John Jairo Carvajal Taquinas

1. El radio de convergencia de la serie de potencias es:

[pic 56]

1. [pic 57]
2. [pic 58]
3. [pic 59]
4. [pic 60]

PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

 [pic 61][pic 62]

[pic 63]

Calcular:

[pic 64]

Usar el criterio de la razón para calcular el intervalo de convergencia.

Criterio de la razón:

Si existe una N tal que para toda ,  y [pic 65][pic 66][pic 67]

Si , entonces .[pic 68][pic 69]

Si , entonces .[pic 70][pic 71]

Si , entonces el criterio es poco concluyente.[pic 72]

1.. [pic 73]

[pic 74]

[pic 75]

2.. [pic 76]

[pic 77]

Primero simplificamos aplicando las leyes de los exponentes

[pic 78]

[pic 79]

[pic 80]

[pic 81]

Reemplazamos en la principal

[pic 82]

[pic 83]

 Es positivo cuando . Por lo tanto [pic 84][pic 85][pic 86]

Se divide entre el denominador con mayor potencia, ósea dividido entre n

Tenemos [pic 87]

Entonces

[pic 88]

[pic 89]

Simplificando queda

[pic 90]

Aplicamos propiedad

[pic 91]

[pic 92]

Al aplicar las propiedades para limites infinitos/en el infinito

[pic 93]

[pic 94]

[pic 95]

Reemplazando valores en [pic 96]

multiplicamos 2 a ambos lados

Entonces [pic 97]

[pic 98]

[pic 99]

Resto 1 de ambos lados

[pic 100]

[pic 101]

Entonces [pic 102]

[pic 103]

[pic 104]

Resto 1 de ambos lados

[pic 105]

[pic 106]

Ya conociendo el resultado del  aplicamos los criterios.[pic 107]

La suma converge para , por lo tanto, tenemos [pic 108][pic 109]

[pic 110]

[pic 111]

Al combinar los rangos tenemos:

Reconociendo como radio de convergencia 2