UNIDAD IV SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES

SITEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES:

Es un conjunto de varias ecuaciones diferenciales con varias funciones incógnitas y un conjunto de condiciones de contorno. Una solución del mismo es un conjunto de funciones diferenciables que satisfacen todas y cada una de las ecuaciones del sistema.

4.1 TEORIA PRELIMINAR

4.1.1 SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES.

Un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de una o más ecuaciones en las que aparecen una o más funciones incógnita, pero todas ellas dependiendo de una sola variable independiente. Para ilustrar este concepto vamos a retomar un ejemplo de cinética química que estudiamos en la lección anterior, pero preguntándonos ahora una cuestión diferente y, como veremos, más complicada. Ejemplo:

Consideremos las siguientes reacciones irreversibles de segundo orden que se producen consecutivamente en un reactor:

Si inicialmente se añaden 2 moles de S y 1 mol de A. ¿Cual es la cantidad de sustancia en el reactor en cada instante de tiempo?.

Si, como viene siendo habitual, [A], [S], [X] y [Y] representan las concentraciones molares de las sustancias presentes en las reacciones, las ecuaciones diferenciales que modelan la evolución en el tiempo de las concentraciones son:

Esto es un sistema de 4 ecuaciones diferenciales de primer orden con cuatro funciones incógnitas: [A], [S], [X] y [Y]. Así pues, resolver el sistema será encontrar expresiones para las cuatro funciones (como funciones del tiempo t, que es la variable independiente). Como además se dan unas condiciones iniciales: [A]0 = 1 mol, [S]0 = 2 moles [X]0 = [Y ]0 = 0 moles, estamos en presencia de un problema de condiciones iniciales.

Se trata de un sistema que no es lineal porque las ecuaciones que los componen no lo son. Salvo para sistemas muy concretos sólo disponemos de métodos analíticos generales para resolver sistemas lineales especiales. Por ello no es esperable que podamos obtener, tal y como se nos pide, expresiones analíticas para la evolución de las concentraciones de las sustancias presentes en el reactor a lo largo del tiempo. Esto no significa que no podamos decir nada a este respecto: disponemos de buenos métodos cualitativos y numéricos que nos permiten conseguir mucha información acerca de las soluciones de gran cantidad de sistemas no lineales.

4.1.2 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGENEAS.

Sabemos que una ecuación diferencial lineal es de la forma,

Si esta misma ecuación se transforma en la forma,

Obtenemos una ecuación diferencial lineal homogénea. Esta se da cuando la función conocida no está presente en la ecuación diferencial lineal, entonces se le llama una ecuación diferencial homogénea. Y si tenemos una gran cantidad de tales ecuaciones juntas, de manera tal que dependen unas de las otras, y definen colectivamente un problema común, entonces se les llama un sistema de ecuaciones diferenciales lineales homogéneo.

Tales sistemas pueden ser resueltos de manera eficiente con la ayuda de las matrices, las cuales son denominadas matriz fundamental. Sean X1, X2 … X3 las soluciones de la matriz fundamental del sistema de entrada de ecuaciones diferenciales homogéneas, entonces puede representarse de manera condensada como,

En la ecuación anterior, las soluciones del sistema de ecuaciones diferenciales están definidas en algún intervalo, digamos I y la solución general del sistema de ecuaciones diferenciales es este

En la ecuación anterior, los términos que se mantienen dentro de los corchetes son los vectores fila, donde X1 = [xi1j], X2 = [xi2j] …Xn = [xinj]. Estas son las soluciones n fundamentales del sistema de entrada de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas para el intervalo dado I. Entonces tenemos que la matriz fundamental para el sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales para el intervalo dado como I es,

Los pasos para resolver un sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales son los siguientes:

1. Construye la matriz de coeficientes para las ecuaciones del sistema dado.

2. Determina los valores propios de esta matriz de coeficientes del sistema dado de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas.

3. Ahora, busca el vector propio inicial de este conjunto de valores propios y nómbralo como EV1.

4. Determina la primera ecuación de este vector en términos de constantes k1, k2.

5. Después de esto, determina el siguiente conjunto de valores propios, sus vectores propios correspondientes y su ecuación.

6. Anota la solución general para las ecuaciones en términos de constantes k1, k2.

7. Por último, deriva la solución general para el sistema de ecuaciones.

Aunque el procedimiento para solucionar el sistema de ecuaciones diferenciales lineales homogéneo es bastante fácil, se da un ejemplo ilustrativo que te ayudará a hacer los conceptos más claros.

dx/ dt = 2x + 3y

dy/ dt = 2x + y

Primero, escribamos la matriz constante para el sistema de ecuaciones diferenciales homogéneas dado. Esto es,

La matriz columna de los valores propios construida a partir de esta matriz de coeficientes es la siguiente,

Esto nos da 1 = −1 y 2 = 4. A partir de estos valores propios el vector propio asociado se construye como,

Colocando el valor de 1 = −1 en lugar, el valor exacto deEV1se obtiene como,

El determinante de este se obtiene como,

| EV1 | = 0.

La ecuación asociada de este vector propio es,

3k1 + 3k2 = 0

2k1 + 2k2 = 0

De manera similar, la otra ecuación para el segundo vector propio es,

-2k1 + 3k2 = 0

2k1 - 3k2 = 0

Cuando t = 0, c1 = 1 y c2 = 1.

X1 = e-t K1

Del mismo modo,

Esto nos da la solución general,

4.1.3 SOLUCIONES GENERALES Y SOLUCIONES PARTICULARES DE SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES:

Solución general de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales y solución particular de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

Para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales lineales, es absolutamente esencial conocer los conceptos de valor propio y vector propio. Para una matriz M dada, es llamadolos valores propios, si la condición es verdadera,

Aquí x se llama vector propio de la matriz M.

Es decir, los vectores propios son aquellos vectores que luego de ser multiplicados por la matriz de entrada permanecen proporcionales a la matriz de entrada o resultan cero.

Sea

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