Sistema De Ecuaciones Diferenciales

SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Unsistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de varias ecuaciones diferenciales con varias funciones incógnitas y un conjunto de condiciones de contorno. Una solución del mismo es un conjunto de funciones diferenciables que satisfacen todas y cada una de las ecuaciones del sistema. Según el tipo de ecuaciones diferenciales pude tenerse un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias o un sistema de ecuaciones en derivadas parciales.

o

SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

En un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de cualquier orden, puede ser reducido a un sistema equivalente de primer orden, si se introducen nuevas variables y ecuaciones. Por esa razón en este artículo sólo se consideran sistemas de ecuaciones de primer orden. Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden escrito en forma explícita es un sistema de ecuaciones de la forma:

Reducción a un sistema de primer orden

Dado un sistema de ecuaciones diferenciales de orden n con m ecuaciones:

Existe un sistema equivalente de primer orden con a lo sumo (n+1)xm ecuaciones. Para ver esto consideremos un sistema en que intervienen m funciones incógnitas xi y sus nderivadas, e introduzcamos un nuevo conjunto de variables yi,k definidos de la siguiente manera:

El sistema de primer orden equivalente en las variables yi,k resulta ser:

Como ejemplo de reducción de un sistema de ecuaciones diferenciales podemos considerar las ecuaciones de movimiento de la mecánica newtoniana de una partícula que es un sistema de segundo orden con tres ecuaciones:

Si se introducen tres funciones incógnita nuevas que representan la velocidad, el sistema anterior se puede reducir a un sistema de primer orden y seis ecuaciones:

SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Sistemas lineales de coeficientes constantes

Un sistema lineal de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes es un sistema de la forma:

Donde representa el vector de funciones incógnita. La solución de este sistema viene dada por la exponenciación de la matriz de coeficientes:

Como ejemplo podemos considerar el siguiente sistema homogéneo:

Los valores propios de la matriz son y por tanto la exponenciación de la matriz da lugar a funciones trigonométricas al tener parte imaginaria no nula, de hecho, la solución calculada a partir de la exponenciación resulta:

Sistemas lineales generales

Un sistema de ecuaciones diferenciales general tiene la forma:1

(*)

Donde:

es una función vectorial.

es una función matricial.

Existencia y unicidad de la solución

El teorema de Peano-Picard establece mediante una demostración constructiva la existencia y unicidad de la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma (*) en las que tanto la matriz como la función sean continuas en un intervalo compacto . El teorema procede por inducción construyendo una serie de funciones vectoriales que converge hacia la solución única del problema:

(**)

Probando que la anterior sucesión es una sucesión de Cauchy y dado que el espacio de funciones vectoriales continuas es completo se sigue existe un único límite de dicha solución. Se puede probar que dicho límite es precisamente la solución buscada.

Aunque el teorema prueba la existencia y unicidad, el método constructivo puede no resultar un método práctico para encontrar una buena aproximación a la solución y mucho menos la solución analítica.

MÉTODO DE FROBENIUS

En matemáticas, Frobenius método describe una manera de encontrar serie infinita solución para un second-order ecuación diferencial ordinaria de la forma

Podemos dividirnos cerca z2 para obtener una ecuación diferencial de la forma

cuál no será soluble con regular métodos de la serie de energía si cualquiera p(z)/z o q(z)/z2 no sea analítico en z = 0. El método de Frobenius nos permite crear una solución de la serie de energía a una ecuación tan diferencial, a condición de que p(z) y q(z) son ellos mismos analíticos en 0 o, siendo analíticos a otra parte, ambos sus límites en 0 existen (y es el noninfinite).

Contenido

• 1 Explicación

• 2 Ejemplo

• 3 Acoplamientos externos

El método de Frobenius nos dice que poder buscar una solución de la serie de energía de la forma

El distinguir:

El substituir:

La expresión r(r-1)+p(z)r+q(z)=I(r) se conoce como polinomio indicial, que es cuadrático adentro r.

Usar esto, la expresión general del coeficiente de zk+r es

Estos coeficientes deben ser cero, puesto que deben ser soluciones de la ecuación diferencial, tan

La solución de la serie con Ak sobre,

satisface

Si elegimos una de las raíces al polinomio indicial para r en Ur(z), ganamos una solución a la ecuación diferencial. Si la diferencia entre las raíces no es un número entero, conseguimos otros, linear solución independiente en la otra raíz.

Ejemplo

Solucionemos

Divídase en todas partes cerca z2 para dar

en cuál tiene la singularidad indispensable z=0.

Utilice la solución de la serie

Ahora, substituyendo

Necesitamos cambiar de puesto la suma final.

Podemos tomar un elemento de las sumas con las cuales comience k=0 para obtener las sumas que empiezan el mismo índice.

Obtenemos una linear solución independiente solucionando el polinomio indicial r(r-1)-r+1 = r2-2r+1 =0 que da una raíz doble de 1. Usando esta raíz, fijamos el coeficiente de zk+r-2 para ser cero (para él a ser una solución), que nos da la repetición

Dado algunas condiciones de la inicial, podemos o solucionar la repetición enteramente u obtener una solución en serie de energía forme.

Desde el cociente de coeficientes Ak / Ak − 1 es a función racional, la serie de energía se puede escribir como a serie hipergeométrica

Ejemplo :

Hallar por el método de Frobenius, la solución general de la ecuación diferencial, en un entorno reducido de x = 0. Justificación previa de la idoneidad del método. Campo de validez de la solución.

El punto x = 0 es singular pues p(x) = no es analítica en dicho punto. Pero x p(x) = y x2 q(x) = , son ambas analíticas en x = 0. (Es decir que x = 0 es punto singular regular de la ecuación). Los radios de convergencia de los desarrollos de x p(x) y x2 q(x) en torno a 0 son ambos . Existe por

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