Ecuaciones Diferenciales Unidad 1

1-1 Teoría preliminar

1-1.1 Definición (Ecuación diferencial, orden, grado, linealidad)

En aquella ecuación que contiene una o más derivada, de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.

NOTA: una derivada se puede expresar de diferentes formas

Tipos de ecuaciones diferenciales

Existen 2 tipos de ecuaciones diferenciales:

1.- Ordinarias.- este tipo de ecuaciones son las que contienen una o más derivada con una o más variables dependientes pero con respecto a tan sólo una variable independiente

Ejemplo.

Si notamos la variable independiente es la misma para las 3 y las variables dependientes son diferentes para las tres.

1.-Parciales.- esta es la ecuación que contiene derivadas con una o más variables dependientes pero con respecto a dos o más variable independiente.

Ejemplo.

Orden de una ecuación diferencial

Este es el orden que tiene la ecuación según la derivada que sea mayor, (es decir que se derive más veces

El orden de la ecuación es la “n” mayor)

Ejemplo.

Grado de una ecuación

Es el número del potencial o de la elevación de una ecuación, con respecto a la derivada mayor

Linealidad de una ecuación

Es si tiene la siguiente forma según su orden

Ecuación diferencial de primer orden:

Ecuación diferencial lineal de orden n:

Donde las son funciones y

Ejemplo.

1.1.2 Soluciones de las ecuaciones diferenciales

Decimos que es una solución de la ecuación diferencial , en el intervalo si

Para toda . Es decir, una solución, es una función definida en algún intervalo que al sustituirla en la ecuación la transforma en una identidad para todo .

Ejemplo

La función es solución de la ecuación diferencial ordinaria para toda .

Derivando la función obtenemos que

Ejemplo

La función es solución de la ecuación diferencial para toda .

Derivando la función y sustituyendo obtenemos que

Ejemplo

La función es solución de la ecuación diferencial parcial

En todo .

Calculando las derivadas parciales

Al sustituir obtenemos una igualdad

Recuerde que no toda ecuación diferencial que se nos ocurra tiene solución, por ejemplo, para la ecuación diferencial

no existe una función real derivable que la satisfaga, pues el lado derecho es negativo y el lado izquierdo positivo. De aquí en adelante vamos a suponer que las soluciones que buscamos son reales y que el intervalo es el adecuado que permita que la solución tenga sentido.

1.1.3 Problema del valor inicial.

En la mayoría de las aplicaciones estamos interesados no en la solución general de una ecuación diferencial, sino en una solución particular que satisfaga ciertas condiciones dadas. Esto da origen a los problemas de valor inicial o de frontera.

Definición

Un problema de valor inicial o de Cauchy consta de una ecuación diferencial de orden y de condiciones iniciales impuestas a la función desconocida y a sus primeras derivadas en un valor de la variable independiente. Es decir

Es decir

Ejemplo

Una partícula se mueve a lo largo del eje de manera tal que su aceleración en cualquier tiempo está dada por . Encuentre la posición de la partícula en cualquier tiempo, suponiendo que inicialmente la partícula está localizada en y está viajando a una velocidad de .

Recuerde que la primera derivada de la posición nos da la velocidad y la segunda derivada la aceleración. De donde el problema de valor inicial sería

Integrando con respecto a x obtenemos

Y usando la condición podemos hallar que , con lo cual la velocidad en cualquier tiempo t sería

Integrando de nuevo

Y usando la condición podemos determinar qué y obtener la posición de la partícula en cualquier tiempo

En la figura 7 se muestra la gráfica de la posición de la partícula versus tiempo.

1.1.4 Teorema de existencia y unidad

Cuando un problema de valor inicial modela matemáticamente una situación física, la existencia y unicidad de la solución es de suma importancia, pues, con seguridad se espera tener una solución, debido a que físicamente algo debe suceder. Por otra parte, se supone que la solución sea única, pues si repetimos el experimento en condiciones idénticas, cabe esperar los mismos resultados, siempre y cuando el modelo sea determinístico. Por lo tanto, al considerar un problema de valor inicial es natural preguntarse por:

1. Existencia: ¿Existirá una solución al problema?

2. Unicidad: ¿En caso de que exista solución, será única?

3. Determinación: ¿En caso de que exista solución, como la determinamos?

En ésta sección nos ocuparemos de las dos primeras interrogantes: existencia y unicidad y dejamos la determinación de solución para el próximo capítulo.

Ejemplo

Dado el problema de valor inicial

No resulta difícil comprobar que es solución, pues separando variables e integrando obtenemos que

Y usando la condición inicial obtenemos que , con lo cual la solución sería . Observe que al resolver la ecuación diferencial dividimos por lo cual supone que , pero podemos verificar que es solución, en este caso una solución singular. En conclusión, el problema de valor inicial dado tiene solución pero no es única, como poder predecir este comportamiento sin tener que resolverlo; el siguiente teorema nos da una respuesta parcial.

Teorema

Sea tal que . Si y son continuas en , entonces existe un intervalo abierto , centrado en y una función definida en , que satisface

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