Actividad 1 Ecuaciones Diferenciales

Universidad CNCI Virtual

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M10 ECUACIONES DIFERNCIALES FIN D

ACTIVIDAD 1

TUTOR: PROFESOR ARMANDO SANCHEZ VALDES

ALUMNO: EDGAR EDUARDO DE LA ROSA CAMPOS

MATRICULA: UCV006751

VILLA UNION COAHUILA, OCTUBRE 2022

INTRODUCCIÓN

En este trabajo se estará analizando un resumen sobre los temas 1 y 2, en el cual vamos a ver una introducción de las ecuaciones diferenciales, conociendo los fundamentos de modelación matemática, el concepto de la ecuación diferencial y ver a que se refiere su clasificación, el orden y el grado de una ecuación diferencial, el campo, dirección y las curvas ortogonales.

Al final se realizarán 2 problemas de ecuaciones diferenciales por medio de variables separables, donde se aplicarán los conocimientos que se verán a lo largo del tema.

RESUMEN

MODELACIÓN MATEMÁTICA

Las matemáticas son una herramienta importante debido a que gracias a ellas se resuelven problemas relacionados con las ecuaciones diferenciales en los que existe variación o cambio de una variable dependiente con respecto a una variable independiente, dichas ecuaciones se interpretan a través de un modelo matemático.

En un modelo matemático se identifican las variables de cambio y se establecen los conjuntos de hipótesis que permitirán resolver la situación problemática.

Las hipótesis de los fenómenos implican un enunciado matemático en el cual intervienen derivadas de primer orden. Para el proceso de modelado se incluyen los siguientes pasos:

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A través del siguiente caso se indicará como utilizar los pasos para plantear un modelo matemático.

Imagina que te encuentras en una habitación con una temperatura de 30° y dejas ahí un vaso de agua que inicialmente se encontraba a 100 °C, al paso de 15 minutos la temperatura baja a 80 °C. ¿Cuánto tiempo se necesitará para que la temperatura descienda a 40°?

Paso 1: Se identifican las variables.

En este caso la temperatura varía con respecto al tiempo, entonces:

Variable independiente = Tiempo (t)

Variable dependiente = Temperatura (T)

De modo que al sustituir los valores se tiene que:

La temperatura inicial al tiempo t = 0 está dada por:

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Y la temperatura inicial al tiempo t = 15 está dada por:

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Paso 2: Analizar las leyes empíricas que se pueden utilizar.

En este caso se aplicará la ley de enfriamiento de Newton.

LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON

Establece que la velocidad de enfriamiento de un cuerpo es proporcional a la diferencia de las temperaturas del cuerpo y del medio ambiente.

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Donde:

T= temperatura de cuerpo

t=tiempo

Tm=temperatura del medio ambiente

K=constante de proporcionalidad        

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Paso 3: Plantear las ecuaciones.

La ecuación diferencial que se utilizará para resolver la situación es la siguiente:

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Y para las marcas de tiempo 0 y 15 se tienen las temperaturas:

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Después se sustituyen las condiciones iniciales:

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Y se deberá integrar con respecto a la variación de temperatura:

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Ahora que se obtuvo el valor de la constante k, se deberá integrar con respecto al cambio de temperatura para obtener el valor del tiempo a la temperatura de 40º c:

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Por lo tanto, para un tiempo aproximado de 88.64 la temperatura de la sustancia descenderá a

40 °C.

Ecuación diferencial

Una ecuación diferencial permite modelar los cambios de variación o cambios que se pueden presentar en la vida cotidiana, por ejemplo:

• El cambio de posición de un objeto
• La temperatura
• El aumento o disminución de una población
• El aumento o disminución del capital de una empresa

En los términos matemáticos una ecuación diferencial es lo siguiente:

Representa una igualdad que contiene derivadas de la variable dependiente y de la independiente.

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CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Se clasifican de acuerdo con el numero de derivadas, al orden y a la linealidad.

Ordinaria: Es la que contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente.

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Parcial: es la que contiene derivadas parciales de una o mas variables dependientes con respecto a dos o más variables independientes.          

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ORDEN DE LAS ECUACIONES LINEALES         

Primer orden: Es donde intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable independiente.

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Segundo orden: donde intervienen variables de segundo orden respecto a una variable independiente.

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Orden n: es donde intervienen derivadas de tercer orden respecto a una variable independiente.

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CLASIFICACIÓN SEGÚN SU LINEALIDAD O N O LINEALIDAD

Lineal: Es en la que su variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer grado.

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No lineal: si una ecuación diferencial no presenta la forma anterior entonces es no lineal.

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Si la derivada esta elevada a un exponente tal que este no es un numero natural, entonces, no se podrá determinar el grado de la ecuación diferencial, por ejemplo:

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