Trabajo 1 Ecuaciones Diferenciales

Defina De Las Siguientes Ecuaciones Diferenciales El Orden Y Linealidad.

(1-x)y’’ – 4xy’ + 5y = cos x Ecuación Lineal De Segundo Orden

xy’’’ –〖2(y’)〗^4 + y = 0 Ecuación No Lineal De Tercer Orden

y’’ + 9y = sen x Ecuación Lineal De Segundo Orden

(1-y^2)dx + xdy = 0 Ecuación no Lineal De Primer Orden

Para Cada Una De Las Ecuaciones Diferenciales Siguientes, Verifique Que La Función O Funciones Indicadas Son Soluciones.

y’ = 25 +y^2, y = 5 tan5x

y’ - 2y = e^3x; y=〖 e 〗^3x+ 〖10e〗^2x

y’ + 4y = 32; y= 8

SOLUCIÓN

y’ = 25 +y^2=y’-y^2=25

y = 5 tan5x B.y=〖 e 〗^3x+ 〖10e〗^2x C. y= 8

Dado que y = 5tan5x; y’= 5〖sec〗^2 5x.5=25〖sec〗^2 5x

y’-y^2≠25

b.Dado que y=〖 e 〗^3x+ 〖10e〗^2x; y’=〖3e 〗^3x+ 〖20e〗^2x

y=〖3e 〗^3x+ 〖20e〗^2x-(〖e 〗^3x+ 〖20e〗^2x )^2≠25

c. Dado que y= 8; y’=0

0-(8)^2≠25

y’ - 2y = e^3x

y = 5 tan5x B.y=〖 e 〗^3x+ 〖10e〗^2x C. y= 8

Dado que y = 5tanx; y’ = 25〖sec〗^2 5x

y = 25〖sec〗^2 5x-2(5tanx)≠e^3x

b.Dado que y=〖 e 〗^3x+ 〖10e〗^2x; y’=〖3e 〗^3x+ 〖20e〗^2x

〖 3e 〗^3x+ 〖10e〗^2x≠〖 e 〗^3x ´

c. Dado que y= 8; y’=0

0-(8)^2≠〖 e 〗^3x

y’ + 4y = 32

y = 5 tan5x B.y=〖 e 〗^3x+ 〖10e〗^2x C. y= 8

Dado que y = 5tanx; y’ = 25〖sec〗^2 5x

y = 25〖sec〗^2 5x+4(5tan5x)≠32

Dado que y=〖 e 〗^3x+ 〖10e〗^2x; y’=〖3e 〗^3x+ 〖20e〗^2x

〖 3e 〗^3x+ 〖20e〗^2x+4(〖 e 〗^3x+ 〖10e〗^2x)≠32

c. Dado que y= 8; y’=0

y’+4y=32=0+4(8)=32032=32

2. a ;

En la ecuación diferencial

2. b ;

3. c ;

A). y’ = 25 + y^2 , y = 5 tan 5x

Solución 〖tan〗^2 (x)+1= 〖sec〗^2 x

y’ = 25 〖sec〗^2 5x Reemplazando “ y en y’ ”

y’ = 25 〖sec〗^2 5x => 25 〖sec〗^2 5x = 25x (〖5tan5x)〗^2

25 〖sec〗^2 5x = 25 + 25〖tan〗^2 5x

25 〖sec〗^2 5x = 25 〖sec〗^2 5x

B). y’ – 2y = e^3x , y = e^3x+10 e^2x

Solución:

y’ = e^3x + 20e^2x Reemplazando “ y en y’ “

y’ = e^3x + 20e^2x => 3e^3x+20e^2x-2e^3x-20e^2x = e^3x

C). Y’ + 4y = 32 , y = 8

Solución:

y’ = 0 => 0 + 32 = 32

Resuelva Las Siguientes Ecuaciones Diferenciales Separables:

e^x y’ = 2x

y’ = e^(3x+2y)

x^2 Y^2 dy = (y+1) dx

e^x y’ = 2x

y’ =2x/e^3

dy=2x/e^3 dx

dy=2xe^(-x)

∫▒〖dy=∫▒〖2xe^(-x) 〗〗 → c=x^2 e^(-x)

y’ = e^(3x+2y)

ln⁡〖y’〗= 3x+2y → ln⁡〖dy=3xdx〗

∫▒ln⁡〖dy-2y=∫▒〖3xdx → ln⁡c 〗〗 -y^2=x^3→y=√(ln⁡c-x^3 )

x^2 Y^2 dy = (y+1) dx

(Y^2 dy)/((y+1) )=dx/x^2 → Y^2/(y+1) dy=dx/x^2 → y^2 (y+1)dy=dx/x^2

∫▒〖y^2 (y+1)^(-1) dy=∫▒〖dx/x^2 → y^3/3 ln⁡〖4+1=-1/x〗 〗〗

A). 〖 e〗^x y^'=2x

Solucion u = x , v = 〖-e〗^(-x)

du = dx , dv = e^(-x) dx

e^x dy/dx = 2x

dy= 2y/e^x dx

∫▒dy= ∫▒〖2xe^(-x) 〗 dx

y=2∫▒〖xe^(-x) 〗 dx

∫▒〖xe^(-x) 〗 dx= -xe^x+ ∫▒e^(-x) dx

∫▒〖xe^(-x) 〗 dx= -xe^(-x)-e^(-x)+c

y = -2xe^(-x)-2e^(-x)+c => y + 2xe^(-x)+2e^(-x)-c=0

B). y’ = e^3x+2y

Solucion:

Y’ = e^(3x+2y)

dy/dx= e^3x e^2y

dy/e^2y = e^3x dx

∫▒〖e^(-2y) dy= ∫▒e^3x 〗 dx

(1 )/2 e^(-2y)= 1/3 e^3x+c

1/3 e^3y+ 1/2 e^(-2y)+c=0

2 e^3x+3 e^(-2y) ¬+c=0

Resuelva Las Siguientes Ecuaciones Diferenciales Exactas:

[x+2/y]dx+ydx=0

(ydx+xdy)/(1-x^2 y^2 )+xdx=0

2x(1+√(x^2 )-y)dx=√(x^2 )-ydy

A). (X+ 2/Y) □(24&dy)+y dx=0

Solución:

dM/dy=1 => dN/dx = 1

dF/d=M => ∫▒〖df= ∫▒Mdx〗

F = ∫▒〖M dx+H(y) => F= ∫▒〖ydx+H(y)〗〗

F = y(x) + H(y)

df/dy= Ә/Әy ( yx+H (y))

N=(dy(x))/dy+(dH (y))/dy => N=x+H^' (y)

x+ 2/y=x+H^' (y) => 2/y= (dH (y))/dy

∫▒2/y dy = ∫▒〖dH (y) 〗

2ln⁡〖|y|〗=H (y)

F = y(x) + 2 ln⁡〖|y| => y(x) 2 ln⁡〖| y |=c〗 〗

B). (y dx+x dy)/(1- x^2 y^2 )+xdx=0

Solución:

(ydx+xdy+xdx ( 1- x^2 y^2)/(1- x^2 y^2 )=0

(ydx+xdy+xdx- x^3 y^2 dx)/(1- x^2 y^2 )= 0

(y+x- x^3 y^2)/(1- x^2 y^2 ) dx+ x/(1- x^2 y^2 ) dy=0

∂M/∂y= (1-2x^3 y( 1- x^2 y^2 )+2x^2 y ( y+x-x^3 y^2)/((〖1- x^2 y^2)〗^2 )

∂N/∂x= (1- x^2 y^2-2y^2 x)/〖1- x^2 y^2)〗^2

∂M/∂y ≠ ∂N/∂x

C). 2x (1 + √(x^2-y) )dx = √(x^2 )-ydy

Solución:

2x (1 - √(x^2 )-y) dy = √(x^2-ydy)

2x = (1 + ( 〖x^2-y)〗^(1/2) )dx = (〖x^2-y)〗^(1/2) dy

∂M/∂y=2x (〖1/2 (x^2-y)〗^((-1)/2) )

∂N/∂x = 1/2 (x^2-y)^((-1)/2) 2x

X(x^2-y)^((-1)/2)

∂F/∂x=M => ∫▒〖df= ∫▒〖Mdx+H(y) 〗〗

F= ∫▒〖〖x (x^2-y)〗^((-1)/2) dx+H(y) 〗 u = x^2-y

F= 1/2 ∫▒u^((-1)/2) du du = 2xdx

F=( 1/2) u^(1/2)/(1/2) => F= √u du/2 =xdx

F= √(x^2-y) + H(y)

df/dy= d/dy (x^2-y)^(1/2) H(y)

N = 1/2 (x^2-y)^((-1)/2)+H^' (y)

√(x^2 )-y =

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