Trab Col 1 Ecuaciones Diferenciales

INTRODUCCION

La matemática está presente en nuestra vida cotidiana hallándose una de sus representaciones en los modelos matemáticos y en especial las ecuaciones diferenciales en sus diversos órdenes. Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, Biología) o matemáticas, como en economía

En el siguiente trabajo encontraremos ejemplos de cómo podemos desarrollar ecuaciones diferenciales de acuerdo a su tipo.

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Desarrollar en forma grupal y pormenorizadamente cada uno de los ejercicios propuestos en la guia de actividades del trabajo colaborativo N° 1

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Verificar en los estudiantes el grado de aprendizaje de aspectos generales y la solución y planteamiento de problemas de la Unidad Uno, sobre Ecuaciones Diferenciales lineales de primer orden.

Desarrollar el trabajo en equipo definiendo roles de liderazgo entre de los integrantes del grupo colaborativo.

SOLUCION

DEFINA DE LAS SIGUIENTES ECUACIONES DIFERENCIALES EL ORDEN Y LINEALIDAD.

(1-y)y’’ – 4xy’ + 5y = cos x

Ecuación Diferencial Ordinaria de Segundo Orden puesto que la derivada de mayor orden que se presenta en la ecuación es de segundo orden

Ecuación diferencial no lineal porque el coeficiente de la variable dependiente y’’ también depende de y.

xy’’’ – 2(y’)4 + y = 0

Ecuación Diferencial Ordinaria de Tercer Orden ya que la derivada de mayor orden que se presenta en la ecuación es de tercer orden

Ecuación diferencial no lineal, debido a la presencia de la potencia de y".

2. RESUELVA LAS SIGUIENTES ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES:

A. dy/dx=( xy+2y-x-2)/(xy-3y+x-3)

Aplico factorización al numerador y al denominador

dy/dx= (y(x+2)-(x+2))/(y(x-3)+(x-3) ⇒ dy/dx= ((y-1)(x+2))/((y+1)(x-3))

Junto los términos de (x) con dx y de (y) con dy.

(y+1)(x-3) dy= (y-1)(x+2) dx

Separo las variables

((y+1))/((y-1) ) dy= ((x+2))/((x-3)) dx

Integro a ambos lados

∫▒(y+1)/(y-1) dy= ∫▒(x+2)/(x-3) dx

∫▒〖1+2/(y-1)〗 dy= ∫▒〖1+ 5/(x-3) dx ⇒y+Ln(y-1)^2=x+Ln(x-3)^5 〗

B. dy=(e^(3x+2y) )dx

Separo las variables dy/dx=e^3x e^2y ⇒e^(-2y) dy=e^3x dx

Integro a ambos miembros de la igualdad

∫▒〖e^(-2y) dy= ∫▒〖e^3x dx= -1/2〗 e^(-2y)=1/3 e^3x+c= -3e^(-2y)=2e^3x+6c〗

-3e^(-2y)=2e^3x+c

RESUELVA LAS SIGUIENTES ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

(2〖xy〗^2 + ye^x)dx + (2x^2 y + e^x -1)dy = 0

Solución:

Tenemos que:

∂M/∂y=∂(2xy^2+ye^x )/∂y=4xy+e^x

∂N/∂x=(∂(2x^2 y+e^x-1))/∂x=4xy+e^x

Donde se cumple la siguiente igualdad:

∂M/∂y=∂N/∂x

Al final se concluye que la ecuación es exacta. Por lo que existe una función f(x,y)

f(x,y)=∫▒〖N(x,y)dy+h(x)=∫▒〖(2x^2 y+e^x-1)dy+h(x)=x^2 y^2+ye^x-y+h(x)〗〗

∂f/∂x=M=2xy^2+ye^x ⇒ ∂f/∂x=2xy^2+ye^x+h^' (x) ⇒ h^' (x)=0

h(x)=0

sustituyo

h(x)=x^2 y^2+ye^x-y+C_1=C

Se obtiene la solución general de la ecuación diferencial

x^2 y^2+ye^x-y=C_2

HALLAR EL VALOR DE B PARA QUE SEA EXACTA LA E.D:

(x^2+bx^2 y)dx+(x+y) x^2 dy=0

Solución:

∂M/∂y=∂(x^2+bx^2 y)/∂y=2xy+bx^2

∂N/∂x=(∂(x+y) x^2)/∂x=(∂(x^3+x^2 y))/∂x=3x^2+2xy

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