TRABAJO COLABORATIVO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES

TRABAJO COLABORATIVO 2

ECUACIONES DIFERENCIALES

NOVIEMBRE 2012

Se conoce que la ecuación y = c1 + c2 cos x + c3 sen x, es la solución general de la ecuación diferencial y’’’ + y’ = 0. Encuentre la solución particular si si y(π) = 0, y’(π) = 2, y’’(π) = –1

y(π)=c1+c2 cos⁡π+c3 sin⁡π=cx

=c1-c2=0 (1)

y^(' )=c1-c2 sin⁡x+c3 cos⁡x

y^' (π)=-c2 sin⁡π+c3 cos⁡π=2

-c3=2 (2)

y^'' (π)=-c2 cos⁡πx-c3 sin⁡x

y^'' (π)=-c2 cos⁡π -c3 sin⁡π= -1

c2=-1 (3)

De (1)y (2) se tiene que c1=c2=-1

la solución particular es entonces

y_p=-1-cos⁡x-2 sin⁡x

2. Determine el Wronskiano de los siguientes pares de funciones:

A. Y1= 5, Y2= cos2x, Y3 = sen2x

■(y^'-〖y_2〗^''=0 & 〖y_2 〗^'= -2 cos⁡x sin⁡x& 〖y_3〗^' 2 sin⁡x cos⁡x )

■(〖〖 y〗_2〗^''= -2(〖cos〗^2 x-〖sin〗^2 x)&〖y_2〗^''=2(〖cos〗^2 x-〖sin〗^2 x))

w= ■(5&〖cos〗^2 x&〖sin〗^2 x@0&-2 cos⁡〖x sin⁡x 〗&2 sin⁡x cos⁡x@0&-2(〖cos〗^2 x-〖sin〗^2 x)&2(〖cos〗^2 x-〖sin〗^2 x)) =

(5)(-2 cos⁡〖x sin⁡x 〗 )(2(〖cos〗^2 x- 〖sin〗^2 x)) -(5)(2 sin⁡x cos⁡x )(-2(〖cos〗^2 x-〖sin〗^2 x))=0

B. Y1= 1+x, Y2= x, Y3 = x2

■(〖y_1〗^'=1&〖y_2〗^'=1&〖y_3〗^'=2x@〖y_1〗^''=0&〖y_2〗^''=0&〖y_3〗^''=2)

w=■(1+x&x&x^2@1&1&2x@0&0&1) =(x+1)(1)/2)-(x)(1)(2)=2x+2-2x=2

3. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por el método de coeficientes constantes y encuentre la solución particular.

A. y’’ – 2y’ + y = 0 con y(0) = 1, y’(0) = 2

y=c1e^mx

e^mx (m^2-2m+1)=0 luego m^'-2m+1=0

m^2-2m+1=(m-1)(m-1)=0 luego m=1

la solución general es entonces:

y=c1e^x+c2x e^x y^'=c1e^x+c2(e^x+xe^x)

■(y(0)=c1e^0+(2)(0) e^0=1&y^' (0)=ce^0+c2(e^0+0e^0)@c1+0=1&=c1+c2=2@c1=1&c2=1)

La solución particular es:

y=e^x+xe^x=(1+x) e^x

B. y’’ – 4y’ + 4y = 0 con y(0) = –4, y’(0) = –6

La ecuación caracteristica es:

m^2-4m+4=0

(m-2)(m-2)=0 luego∶ m=2

La solución general es:

y= c_1 e^2x+ c_2 xe^2x ; y^'=2c_1 e^2x+c_2 (e^2x+2xe^2x)

y(0)=c_1= -4 ; y^' (0)=2c_1+c_2= -6

c_2= -6-2c_1

c_2=2

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