Sistema De Ecuaciones Diferenciales Lineales

Republica Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Defensa

Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada Bolivariana (UNEFAB)

3er Semestre Ingeniería de Gas - Sección Gas D3-1

Núcleo Guárico Sede-Tucupido

Sistema de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.

Profesor: Bachiller:

Junio del 2011.

ÍNDICE

Pág.

Introducción……………………………………………………………………. 3

Sistema de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes……. 4-6

Ecuación Característica…………………………………………………….......... 6

Ejercicios………………………………………………………………………… 8

Resolución de Sistema……………………………………………………… 9-13

Conclusión……………………………………………………………………… 14

Bibliografía……………………………………………………………………... 15

INTRODUCCIÓN

La construcción de modelos matemáticos para tratar los problemas del mundo real se ha destacado como uno de los aspectos más importantes en el desarrollo teórico de cada una de las ramas de la ciencia. Con frecuencia estos modelos implican una ecuación en la que una función y sus derivadas desempeñan papeles decisivos. Tales ecuaciones son llamadas ecuaciones diferenciales, que es una ecuación que involucra derivadas de una función desconocida o una o más variables. Como en la ecuación (x2 + y2) dx - 2xy dy =0, una derivada puede estar presente de manera implícita a través de diferenciales. Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con su tipo, orden y linealidad. La meta es de encontrar métodos para resolver tales ecuaciones, esto es, determinar la función o funciones desconocidas que satisfagan una ecuación diferencial.

La solución de una ecuación diferencial es un conjunto de funciones diferenciables que satisfacen todas y cada una de las ecuaciones del sistema. En este trabajo se desarrollara un punto en específico de las ecuaciones diferenciales, las cuales son ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.

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SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES.

Un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de varias ecuaciones diferenciales con varias funciones incógnitas y un conjunto de condiciones de contorno. Una solución del mismo es un conjunto de funciones diferenciables que satisfacen todas y cada una de las ecuaciones del sistema. Según el tipo de ecuaciones diferenciales pude tenerse un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias o un sistema de ecuaciones en derivadas parciales.

Sistemas lineales de coeficientes constantes

Un sistema lineal de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes es un sistema de la forma:

Donde representa el vector de funciones incógnita. La solución de este sistema viene dada por la exponenciación de la matriz de coeficientes:

Como ejemplo podemos considerar el siguiente sistema homogéneo:

Los valores propios de la matriz son y por tanto la exponenciación de la matriz da lugar a funciones trigonométricas al tener parte imaginaria no nula, de hecho, la solución calculada a partir de la exponenciación resulta:

Resolución con coeficientes constantes

La resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales se simplifica mucho si las ecuaciones son de coeficientes constantes. En el caso de una ecuación de primer orden la búsqueda de un factor integrante nos lleva en la mayoría de los casos a una ecuación en derivadas parciales. Si la ecuación es de

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orden superior, a no ser que sea una ecuación de Euler o similar, tendremos que proponer una solución que no viene dada, en general, por funciones elementales. En estos casos los métodos preferidos (sin contar el cálculo numérico) son los que emplean series de potencias o series de Fourier. En el caso de los sistemas, si la matriz del sistema es de coeficientes constantes podemos resolver el sistema usando el método de los valores propios ya que en ese caso la matriz resultante de la reducción de la ecuación a un sistema de primer orden es constante y puede encontrarse fácilmente su solución calculando la exponencia de la matriz del sistema.

Para estudiar otros métodos de encontrar la solución a parte de la exponenciación de matrices consideraremos una ecuación del tipo:

Donde son coeficientes constantes conocidos. Observemos que la derivada n-ésima va acompañada por el coeficiente unidad. Definimos el polinomio característico de la ecuación como

que es una ecuación algebraica de orden n. Se demuestra que si hallamos las n raíces del polinomio característico la solución de la ecuación homogénea:

Al calcular las raíces del polinomio característico pueden darse los siguientes casos:

 Raíces reales distintas: En este caso la solución viene dada directamente por ,donde , siendo Ck constantes de integración.

 Raíces reales repetidas: Ilustraremos este caso con un ejemplo; sea una ecuación de segundo orden con coeficientes constantes cuyo polinomio característico tiene la raíz λidoble. En este caso no podemos expresar la solución como , ya que si lo hacemos de este modo tenemos una información redundante. En este caso particular la solución de la ecuación es . En general, en una ecuación de orden n, si una raíz aparece repetida q veces la solución parcial asociada a ella es:

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 Raíces complejas: Si las raíces son del tipo debemos expresar la solución como combinación lineal de senos, cosenos y exponenciales en la forma

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Si las raíces complejas conjugadas están repetidas, la ecuación es del tipo

.

Una vez resuelto el problema homogéneo podemos atacar el problema completo. Para tener la solución del problema completo debemos sumar

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