Introducción a las ecuaciones diferenciales. Indique el orden de la ecuación diferencial y establezca si la ecuación es lineal o no lineal,

ECUACIONES DIFERENCIALES

GRUPO No.

JOSE RAFAEL VARGAS

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD

19 DE SEPTIEMBRE DEL 2015

1. Introducción a las ecuaciones diferenciales. Indique el orden de la ecuación diferencial y establezca si la ecuación es lineal o no lineal, y justifique su respuesta.

[pic 1]

Basta con observar que la ecuación se puede reescribir como:

[pic 2]

Donde:

[pic 3]

Lo cual hace que concuerde con la definición de la E.D.O (ecuación diferencial ordinaria) lineal respecto a la variable dependiente y de orden uno. Si deseamos verlo con la variable dependiente x, obtenemos:

[pic 4]

Lo cual es imposible de llegar a la forma lineal de una E.D.O, por tanto la E.D.O no es lineal con respecto a la variable dependiente x.

[pic 5] 

[pic 6]

Por lo que la ecuación no es lineal con respecto a la variable dependiente y (de primer orden u orden uno). Puesto que se tiene:

[pic 7]

[pic 8] (Puesto que en la ecuación de la derecha depende de y, lo cual no está en la definición de una E.D.O lineal).

Ahora analicemos el caso en que la variable dependiente sea x:

[pic 9]

Por lo cual se tiene que la E.D.O no es lineal con la variable dependiente x.

[pic 10]

La ecuación es de orden dos (su mayor derivada es de segundo orden). Ahora veamos si es o no lineal:

[pic 11]

De donde observamos que ([pic 12], por lo cual, este factor altera y hace que la ecuación no sea lineal, e incluso también el factor ([pic 13]. Luego la ecuación no es lineal.

[pic 14]

[pic 15]

De esta última concluimos que la ecuación no es lineal, puesto que:

[pic 16]

Lo cual se debe cumplir para que la ecuación sea lineal, cabe destacar que la ecuación es de grado dos.

1. Ecuaciones diferenciales de primer orden

1. Resuelva la siguiente ecuación diferencial por el método de variables separables: [pic 17]

Antes de comenzar la solución del problema es bueno aclarar que en el transcurso de esta se dividirá por factores ex, puesto que:

[pic 18] 

(Nota: [pic 19] denota el conjunto de los números reales)

[pic 20]

Integrando a ambos lados de la última ecuación, aplicando partes en el lado derecho de ésta:

[pic 21]

Siendo así esta última la solución general a la E.D.O.

1. Determine si la ecuación dada es exacta. Si lo es, resuélvala.

[pic 22]

                Ahora sea        [pic 23]1, luego para que la ecuación sea exacta se debe cumplir que:

                [pic 24]

        Verifiquemos:

                [pic 25]

Por lo cual concluimos que My = Nx, luego la E.D.O es exacta, así procedemos.

[pic 26]

Luego fx = M(x,y), así derivando y haciendo esta sustitución:

[pic 27]

Y ésta última es la solución general a la E.D.O.

1. Resolver la siguiente ecuación diferencial hallando el factor integrante 6xydx + (4y + 9x2)dy = 0

6xydx+(4y+9x2)dy = 0 ⇒ así, sea, M(x,y) = 6xy y N(x,y) = 4y+9x2, luego obtenemos que My = 6x y Nx = 18x, así[pic 28]

[pic 29]

F.I =

Así, de la ecuación diferencial original, obtenemos;

6xy3dx + (4y3 + 9x2y2)dy = 0

Haciendo M(x,y) = 6xy3 y N(x,y) = 4y3 +9x2y2, de donde My = 18xy2 y Nx = 18xy2, de donde concluimos que la nueva E.D.O, es una ecuación diferencial es exacta, luego:

[pic 30]

Como fy = N(x,y), se sigue que

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