Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas

Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas

Método de variación de parámetros

Esta E.D. tiene la forma o modelo estándar:

a_n y^n+a_(n-1) y^(n-1)+⋯+a_1 y^'+a_0 y=r(x)

Se debe hallar la solución general correspondiente a la ecuación homogénea, la cual se indica como yh.

Se debe calcular una solución particular de la ecuación no homogénea, la cual se identifica como yp. Ésta es: yp = u y1 + v y2, donde u y v son precisamente las constantes que hay que encontrar; y1 y y2 son las soluciones o funciones de yh (si la ED es de orden dos).

Combinando los dos resultados, la solución de la EDL no homogénea es: y=y_h+y_p

Para conocer yp, se calcula la determinante de una matriz cuadrada, a esto se le conoce como Wronskiano (W).

La matriz se construye de la siguiente forma:

En el primer renglón o fila van las funciones (yn) que acompañan a las constantes de la solución yh. Si corresponden a una ED de orden dos, estas funciones se identifican como y1 y y2 respectivamente.

Las siguiente filas de la matriz se construyen con las derivadas de cada función, así se continúa para las demás filas hasta la derivada n-1, formando una matriz cuadrada.

Si el valor del determinante es distinto de cero, entonces las funciones son linealmente independientes, en caso contrario dependientes. Este procedimiento es útil para verificar si un conjunto de funciones que son soluciones de una ED son un conjunto fundamental de soluciones.

Se resuelve la matriz por la regla de Cramer. Para una ED de orden dos, yp se calcula de la siguiente manera:

y_p= -y_1 ∫▒(y_2 r(x))/W dx+ y_2 ∫▒(y_1 r(x))/W dx

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